Orthogonalité - Définition et Explications

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Introduction

L'équation régissant la propagation de la chaleur se résout à l'aide de l'orthogonalité dans un espace de dimension infinie.

En mathématiques, l'orthogonalité est un concept d'algèbre linéaire (L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s'intéresse à l'étude des espaces vectoriels (ou espaces linéaires), de leurs éléments les vecteurs, des transformations linéaires et des...) associé à une forme bilinéaire (En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire, une forme bilinéaire est un type particulier d'application qui, à deux vecteurs d'un même espace vectoriel (sur un certain corps) associe un...). Un cas fréquent est celui où cette forme est un produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois s'appliquant aux vecteurs. À deux vecteurs elle associe leur produit, qui est un nombre (ou...).

Si un espace est munie d'une géométrie euclidienne (La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d'Euclide, qui est à la fois une somme des connaissances...), il est naturellement équipé d'une distance, deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leurs directions sont perpendiculaires ou encore forment un angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) droit. Depuis la Grèce antique, l'angle droit est à l'origine de la démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées...) de nombreux théorèmes. Ceux de Pythagore (Pythagore (en grec ancien Πυθαγόρας / Pythagóras) est un philosophe, mathématicien et scientifique qui serait né aux environs de 580 av. J.-C. à Samos, une...) et de la médiane (Le terme de médiane, du latin medius, qui est au milieu, possède plusieurs acceptations en mathématiques :) sont des exemples. Les grands et petits axes d'une ellipse sont orthogonaux, source de multiple propriétés.

L'orthogonalité généralise dans un premier temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) l'idée d'angle droit à un espace de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son...) finie muni d'un produit scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les vecteurs, par opposition à un pseudoscalaire, qui est un nombre qui peut dépendre de la base.). Les résultats découverts dans l'univers (L'Univers est l'ensemble de tout ce qui existe et les lois qui le régissent.) précédent prennent une nouvelle forme. Les axes principaux d'une surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois...) quadrique (En mathématiques, une quadrique, ou surface quadratique, est n'importe quelle surface de l'espace euclidien usuel de dimension 3 représentée par une équation de deuxième ordre via des variables spatiales (coordonnées)) sont orthogonaux, cette propriété permet leur classification. L'article théorème spectral (En mathématiques, une quadrique désigne une surface d’un espace euclidien. Elle est définie par un polynôme du second degré dont les variables...) montre de nombreuses applications, comme la résolution de l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation...) du mouvement d'une corde vibrante modélisée par des petites masses en nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) fini et à égales distance ou la méthode des moindres carrés (La méthode des moindres carrés, indépendamment élaborée par Legendre en 1805 et Gauss en 1809, permet de comparer des données expérimentales, généralement entachées d’erreurs...) en statistiques (La statistique est à la fois une science formelle, une méthode et une technique. Elle comprend la collecte, l'analyse, l'interprétation de données ainsi que la...).

L'orthogonalité s'applique encore si les nombres sous-jacents ne sont plus réels. L'usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) des nombres complexes amène à une autre géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, les...), dite hermitienne. En arithmétique (L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la théorie des nombres qui utilise des méthodes de la géométrie algébrique et de la théorie des groupes. On...), l'utilisation de l'orthogonalité sur les nombres entiers permet à Joseph-Louis Lagrange (Joseph Louis, comte de Lagrange (en italien Giuseppe Lodovico Lagrangia), né à Turin le 25 janvier 1736 et mort à Paris le 10 avril 1813 (à 77 ans), est un...) de trouver une nouvelle démonstration du théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement...) des deux carrés de Fermat. Les représentations d'un groupe fini font appel à des ensembles de nombres finis. L'orthogonalité y joue (La joue est la partie du visage qui recouvre la cavité buccale, fermée par les mâchoires. On appelle aussi joue le muscle qui sert principalement à ouvrir et fermer la bouche et à...) un grand rôle.

L'analyse fonctionnelle (En mathématiques, le terme fonctionnelle se réfère à certaines fonctions. Initialement, le terme désignait les fonctions qui en prennent d'autres en argument. Aujourd'hui, le terme a été étendu, et il...) n'est pas en reste. Il est parfois possible de définir un produit scalaire sur un espace de fonctions à valeurs réelles ou complexes de dimension infinie. L'orthogonalité y est utilisée à travers la notion de base de Hilbert (Une base de Hilbert ou encore base hilbertienne est une généralisation aux espaces de Hilbert de la notion classique de base orthonormée en algèbre linéaire, pour les espaces euclidiens (ou...), une généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de concepts ou d'objets en négligeant les détails...) de la base orthonormale (Soit En un espace vectoriel euclidien de dimension n, où n est un entier naturel non nul, et , une base de En.). Elle permet de résoudre des équations comme celle de la chaleur (Dans le langage courant, les mots chaleur et température ont souvent un sens équivalent : Quelle chaleur !) ou d'une corde vibrante dans le cas général. Parfois, l'espace de fonctions ne dispose pas de produit scalaire. Le dual topologique permet alors de faire usage de l'orthogonalité. Le crochet de dualité est une forme bilinéaire (Soit E, F et G trois espaces vectoriels sur un corps . Soit une application, on dit que est bilinéaire si et seulement si elle est linéaire en chacune de ses...) qui s'applique sur le dual et l'espace, il remplace le produit scalaire et permet d'obtenir des résultats un peu analogues aux configurations précédentes.

Géométrie d'Euclide

Définitions

Deux segments perpendiculaires

Une première approche intuitive associe l'orthogonalité à l'angle droit. Dans ce paragraphe E est plan équipé d'une géométrie euclidienne, comme l'angle droit est défini à l'aide de deux droites, et que deux droites sont toujours coplanaires, il n'est pas utile d'aller plus loin. En revanche les résultats s'appliquent encore dans notre espace usuel de dimension trois. Le plan est formalisé soit par les cinq postulats d'Euclide, soit pour être parfaitement rigoureux par les vingt axiomes de Hilbert. E possède des transformations particulières, de E dans lui-même, appelées isométries. Elles conservent les distances. Ainsi, si A et B sont deux points de E et ψ une isométrie (En géométrie, une isométrie est une transformation qui conserve les longueurs. Une isométrie est donc un cas particulier de similitude.), la distance entre ψ(A) et ψ(B) est la même que celle entre A et B. Dans un tel espace, les isométries sont les translations, les rotations et les réflexions correspondant à l'image d'un miroir (Un miroir est un objet possédant une surface suffisamment polie pour qu'une image s'y forme par réflexion et conçu à cet effet. C'est souvent une couche métallique...).

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) 1 —  Deux droites sécantes et non confondues Δ1 et Δ2 forment un angle droit, ou encore sont orthogonales si et seulement s'il existe une rotation tel que l'image de Δ1 (resp. Δ2) soit Δ2 (resp. Δ1).

La seule rotation utilisable pour cette définition est celle d'un quart de tour. Il serait possible de définir l'angle droit à l'aide d'une réflexion. Les droites Δ1 et Δ2 sont perpendiculaires si et seulement s'il existe une réflexion d'axe Δ1 laisse globalement invariant Δ2.

Il est aisé de remarquer que si une droite Δ2 est perpendiculaire (En géométrie plane, on dit que deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en formant un angle droit. Le terme de perpendiculaire vient du latin...) à une droite Δ1 et si Δ2 est parallèle à une droite Δ3, alors les droites Δ1 et Δ3 forment un angle droit. La notion d'orthogonalité ne s'applique pas seulement à des droites mais, de manière plus générale à des directions. Deux droites sont dites avoir même direction si et seulement si elles sont parallèles.

Définition 2 —  Deux directions δ1 et δ2 sont orthogonales, ou encore forment un angle droit, si et seulement s'il existe une droite Δ1 (resp. Δ2) de direction δ1 (resp. δ2) tel que Δ1 et Δ2 soient perpendiculaires.

Ces deux définitions permettent de nombreuses généralisations. Ainsi deux segments (resp. vecteurs) (resp. bipoints) sont orthogonaux si et seulement si leurs directions le sont. Une droite Δ est perpendiculaire à un plan si et seulement si toute droite du plan est orthogonale à Δ.

Propriétés

Une version géométrique du théorème.

Pour la géométrie du triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La dénomination de « triangle » est justifiée par la...), la tradition consiste à utiliser le terme de perpendiculaire et non orthogonal, dans ce contexte (Le contexte d'un évènement inclut les circonstances et conditions qui l'entourent; le contexte d'un mot, d'une phrase ou d'un texte inclut les mots qui l'entourent. Le...), les deux notions sont rigoureusement équivalentes.

La propriété fondamentale (En musique, le mot fondamentale peut renvoyer à plusieurs sens.) de la géométrie d'Euclide est le théorème de Pythagore (Le théorème de Pythagore est un théorème de géométrie euclidienne qui énonce que dans un triangle rectangle (qui possède un...). Il s'exprime ainsi :

Théorème de Pythagore —  Dans un triangle rectangle (En géométrie, un rectangle est un quadrilatère dont les quatre angles sont des angles droits.), le carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la même mesure. Un carré est à la fois un rectangle et...) de la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle...) de l'hypoténuse (Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté non adjacent à l'angle droit, ou le côté opposé à l'angle droit. Dans un triangle rectangle, la longueur de l'hypoténuse égale la...) (côté opposé ( En mathématique, l'opposé d’un nombre est le nombre tel que, lorsqu’il est à ajouté à n donne zéro. En botanique, les organes...) à l'angle droit) est égal à la somme des carrés des longueurs des côtés de l'angle droit.

Ce résultat semble être l'un des tous premiers théorèmes connus de l'humanité. On en trouve probablement des traces (TRACES (TRAde Control and Expert System) est un réseau vétérinaire sanitaire de certification et de notification basé sur internet sous la responsabilité...) à une période datant d'avant l'écriture. La première démonstration connue provient d'Euclide qui vivait autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne à 31 espèces d'oiseaux qui, soit appartiennent au genre Accipiter, soit constituent les 5 genres Erythrotriorchis, Kaupifalco,...) de -300 av. J.C., elle est rédigée dans un texte nommé les Éléments.

La réciproque (La réciproque est une relation d'implication.) est aussi vraie. C'est-à-dire que si, avec les notations de la figure, la somme de l'aire des carré de côté a et b est égal à l'aire du carré de côté c, alors le triangle est rectangle. Autrement dit, si A, B et C sont trois points d'un plan, l'angle formé par les segments [A, B] et [A, C] est droit si et seulement si :

 \text{d}(A,B)^2 +\text{d}(A,C)^2=\text{d}(B,C)^2\;
La figure du losange (Dans un espace affine normé, un losange, anciennement appelé rhombe, est un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de même longueur.) est un moyen de construire un angle droit.

Dans cet article d(A, B) désigne la distance entre A et B.

Cette propriété permet de démontrer le théorème de la médiane attribué à Apollonius de Perga (Apollonius de Perga ou Perge (v. 262 – v. 190 av. J.-C.) était un géomètre grec et un astronome, célèbre pour ses écrits sur les sections coniques. Ce fut...). Il stipule (En botanique, les stipules sont des pièces foliaires, au nombre de deux, en forme de feuilles réduites située de part et d'autre du pétiole, à sa base, au point d'insertion sur la tige.) que si A, B et C sont trois points du plan et si I est le milieu du segment [B, C] alors :

\text{d}(A,B)^2 + \text{d}(A,C)^2 = 2\text{d}(B,I)^2 + 2\text{d}(A,I)^2\,

Le terme de médiane désigne une droite passant par un sommet et le milieu du côté opposé d'un triangle. Si un triangle A, B, C est tel que la distance entre A et B est la même que celle entre B et C, le triangle est dit isocèle. Soit I le milieu de A et C, alors le théorème de la médiane indique que :

2\text{d}(A,B)^2 = 2\text{d}(B,I)^2 + 2\text{d}(A,I)^2\,

La condition nécessaire et suffisante précédente indiquant qu'un angle est rectangle est remplie et l'angle AIB est droit. Ceci démontre que les deux diagonales d'un losange sont perpendiculaires.

Constructions à la règle et au compas

Construction de deux droites perpendiculaires.

Une première question consiste à savoir comment, à l'aide d'une règle et d'un compas, dessiner deux droites perpendiculaires. Une technique simple consiste à choisir deux points A et B sur la première droite Δ1 et à dessiner deux cercles de même rayon ayant deux points d'intersections. La droite Δ1, passant par les deux points d'intersection, est perpendiculaire à la première. La figure est un losange, l'étude des propriétés du paragraphe précédent montre que les deux droites sont perpendiculaires.

La figure de droite montre qu'il est inutile que les deux cercles soit de même rayon. En effet, avec les notations de la figure, soit D le deuxième point (Graphie) d'intersection des deux cercles et O le milieu de C et D. Comme le triangle CAD est isocèle, la droite passant par A et O est perpendiculaire à celle passant par C et D. Un raisonnement analogue montre que la droite passant par B et O possède les mêmes propriétés, elles sont donc les mêmes directions et un point commun O, ce qui montre qu'elles sont confondues avec la droite Δ1.

Médiane de l'angle droit d'un triangle rectangle

Cette technique de construction d'un angle droit est ancienne. Elle date probablement de Œnopide de Chios, un mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son...) grec vivant cinq siècles avant J.C.

Une autre solution est illustrée par la figure de gauche. Elle consiste à tracer un cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du cercle. Celui-ci étant infiniment...) et un triangle dont un côté est un diamètre (Dans un cercle ou une sphère, le diamètre est un segment de droite passant par le centre et limité par les points du cercle ou de la...) et dont le sommet est un point du cercle. Un tel triangle est toujours rectangle. En effet, le théorème de la médiane montre que la somme des carrés des longueurs des segments [A, B] et [A, C] est égal à quatre fois le carré du rayon, c'est-à-dire le carré de la distance entre B et C.

De nombreuses constructions à la règle et au compas utilisent les propriétés de l'orthogonalité. Elle permet de couper un angle en deux, à l'aide de la bissectrice (La bissectrice d'un secteur angulaire est la demi-droite issue du sommet de l'angle qui partage cet angle en deux angles adjacents de même mesure. Elle forme de ce fait l'axe de...). À l'exception du triangle équilatéral qui n'en a pas besoin (Les besoins se situent au niveau de l'interaction entre l'individu et l'environnement. Il est souvent fait un classement des besoins humains en trois grandes...), le dessin à la règle et au compas des polygones réguliers constructibles utilise les propriétés de l'orthogonalité.

Orthogonalité et théorèmes géométriques

Bissectrices et cercle inscrit d'un triangle.

De nombreux théorèmes géométriques utilisent le théorème de Pythagore et donc l'orthogonalité pour pouvoir être démontrés. Le fait que les trois bissectrices d'un triangles soient concourantes et soit le centre du cercle inscrit dans le triangles provient de la propriété d'orthogonalité de la bissectrice déjà rencontrée pour construire deux droites perpendiculaires.

Droite et cercle d'Euler d'un triangle.

De même, les trois hauteurs d'un triangle d'un triangles sont concourantes. Le point d'intersection s'appelle l'orthocentre (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points en général supposés non alignés, et par les trois segments qui...). Une hauteur (La hauteur a plusieurs significations suivant le domaine abordé.) est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé. Un autre résultat précise que les trois médianes sont aussi concourantes. Le point d'intersection est le centre de gravité (Le centre de gravité est le point d'application de la résultante des forces de gravité ou de pesanteur. Il est également le point...). Ce qui signifie que si un triangle est matérialisé en un solide homogène, il est en équilibre sur une pointe posée exactement sur ce point d'intersection. Leonhard Euler (Leonhard Paul Euler, né le 15 avril 1707 à Bâle et mort le 18 septembre 1783 à Saint-Pétersbourg, est un mathématicien et physicien suisse, qui passa la plus...) trouve une droite remarquable. Le centre de gravité (La gravitation est une des quatre interactions fondamentales de la physique.), le centre du cercle inscrit et l'orthocentre sont alignés. Cette droite est le centre d'un cercle étonnant appelé cercle d'Euler. Il passe par neuf points remarquables du triangle. Karl Wilhelm Feuerbach établit son théorème affirmant que le cercle d'Euler est tangent aux trois cercles exinscrits du triangle. Tous ces théorèmes utilisent les propriétés de l'orthogonalité pour pouvoir être démontrées.

Utilisations dans d'autres contextes

La définition moderne des coniques est celle d'Apollonius.

L'utilisation de l'orthogonalité en dehors de la géométrie date de la plus haute antiquité. Les babyloniens utilisent un triangle rectangle isocèle de côté un pour calculer la racine de deux. L'orthogonalité d'un angle ainsi que la formule de Héron (En géométrie euclidienne, la formule de Héron, trouvée par Héron d'Alexandrie, permet de calculer l'aire d'un triangle quelconque en ne connaissant que les longueurs des trois côtés...) leur permettaient d'accéder à une remarquable approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de précision et d'exactitude, de quelque chose, mais encore assez significative pour...). Apollonius écrit un traité sur les coniques qui fascinent de nombreuses générations. Il y démontre les propriétés asymptotiques des hyperboles, des foyers et la base des propriétés des polaires réciproques.

L'antiquité n'est pas la seule période à utiliser des relations d'orthogonalité en géométrie. René Descartes (René Descartes, né le 31 mars 1596 à La Haye en Touraine (localité rebaptisée Descartes par la suite) et mort à Stockholm dans le palais royal de...) généralise l'idée d'abscisses et d'ordonnées déjà présente chez Apollonius et utilise systématiquement l'angle droit pour définir ses repères, ce qui permet de calculer simplement la distance entre deux points dans le plan. Elle correspond à la somme des carrés des différences des coordonnées. Il utilise son repère pour établir les lois de l'optique (L'optique est la branche de la physique qui traite de la lumière, du rayonnement électromagnétique et de ses relations avec la vision.) comme celles de la réfraction (En physique des ondes — notamment en optique, acoustique et sismologie — le phénomène de réfraction est la déviation d'une onde lorsque la vitesse de celle-ci change entre deux milieux. Typiquement, cela se...) et de le reflexion.

Isaac Newton (Isaac Newton (4 janvier 1643 G – 31 mars 1727 G, ou 25 décembre 1642 J – 20 mars 1727 J) est un philosophe, mathématicien, physicien,...) utilise des propriétés d'orthogonalités (la traduction française utilise le mot perpendiculaire) pour établir les principes du calcul différentiel (Un différentiel est un système mécanique qui a pour fonction de distribuer une vitesse de rotation de façon adaptative aux besoins d'un ensemble mécanique.). Les définitions de dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus précisément, une dérivée est une...) et d'intégrale (Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé intégration. Une intégrale est donc composée d'un intégrande (la fonction à intégrer) et d'un opérateur que l'on appelle...) pour cet auteur se fonde sur des raisonnements géométriques où l'orthogonalité joue un rôle majeur. Newton les utilise pour déterminer la trajectoires des planètes autour du soleil (Le Soleil (Sol en latin, Helios ou Ήλιος en grec) est l'étoile centrale du système solaire. Dans la classification astronomique, c'est une étoile de type naine jaune, et...). Son formalisme correspond essentiellement à une logique (La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος), terme inventé par Xénocrate signifiant à la fois raison, langage, et...) analogue à celle d'Euclide, le recours au repère cartésien est rare.

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