Espace de Banach
Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
La liste des auteurs de cet article est disponible ici.

Un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet pour la distance issue de sa norme. Comme la topologie déduite de sa distance est compatible avec sa structure d’espace vectoriel, c’est un espace vectoriel topologique. Les espaces de Banach possèdent de nombreuses propriétés qui font d'eux un outil (Un outil est un objet finalisé utilisé par un être vivant dans le but d'augmenter son efficacité naturelle dans l'action. Cette augmentation se traduit par la...) essentiel pour l'analyse fonctionnelle (En mathématiques, le terme fonctionnelle se réfère à certaines fonctions. Initialement, le terme désignait les fonctions qui en prennent d'autres en...).

Propriété des fermés emboîtés

Soit une suite décroissante de fermés non vides d'un espace de Banach (Un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet pour la distance issue de sa norme. Comme la topologie déduite de sa distance est compatible avec sa structure d’espace...) telles que le diamètre (Dans un cercle ou une sphère, le diamètre est un segment de droite passant par le centre et limité par les points du cercle ou de la...) de chaque fermé soit réel et que la suite des diamètres tende vers 0. Alors l'intersection des fermés est réduite à un singleton.

Cette propriété permet de démontrer qu'un espace de Banach est de Baire.

Noter que cette propriété peut être fausse sans l'hypothèse que les diamètres tendent vers 0, même si on suppose les fermés bornés.

Théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un...) de Banach-Steinhaus

Voir l'article de fond : Théorème de Banach-Steinhaus.

Soient E un espace de Banach, et F un espace vectoriel normé (Un espace vectoriel normé est une des structures importantes rencontrées en analyse, et plus particulièrement en analyse fonctionnelle. Développée notamment par David Hilbert et Stefan...). Soit (u_i)_{i\in I} une famille d'éléments de \mathcal L(E,F) (voir application linéaire) et soit A l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble),...) des vecteurs x\in E tels que \sup_{i\in I} \|u_i(x)\| < + \infty. Alors soit A est maigre, c'est-à-dire réunion dénombrable d'ensembles rares (un ensemble est rare si l'intérieur de son adhérence est vide) et son complémentaire est dense, soit \sup_{i\in I} \| u_i \| < + \infty. En particulier, si A = E, seule la seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La seconde est une unité de mesure du temps. La...) éventualité est possible.

Remarque : la dernière norme (Une norme, du latin norma (« équerre, règle ») désigne un état habituellement répandu ou moyen considéré le plus souvent comme une...) utilisée est la norme d'opérateur (Le mot opérateur est employé dans les domaines :) (ou norme subordonnée).

Littérature

  • Stefan Banach : Théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur...) des opérations linéaires. -- Warszawa 1932. (Monografie Matematyczne; 1) Zbl 0005.20901
Page générée en 0.052 seconde(s) - site hébergé chez Amen
Ce site fait l'objet d'une déclaration à la CNIL sous le numéro de dossier 1037632
Ce site est édité par Techno-Science.net - A propos - Informations légales
Partenaire: HD-Numérique