Adhérence (mathématiques)
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Définitions

En topologie, l'adhérence d'une partie X d'un espace topologique E est le plus petit ensemble fermé de E qui contienne X.

L'existence d'un tel fermé est claire : il existe au moins un fermé contenant X, à savoir l'espace E lui-même ; d'autre part, l'intersection de tous les fermés contenant X est un fermé contenant X, et est le plus petit ayant cette propriété.

L'adhérence de X est aussi appelée fermeture (Le terme fermeture renvoie à :) de X et se note souvent \overline{X}.

On dit d'un point (Graphie) x de E qu'il est adhérent à X lorsque tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) voisinage (La notion de voisinage correspond à une approche axiomatique équivalente à celle de la topologie. La topologie traite plus naturellement les notions globales comme la continuité qui...) de x rencontre X.

L'adhérence de X est égale à l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise...) des points qui lui sont adhérents.

En effet :

  1. Si le point x de E est adhérent à X, il ne peut appartenir à l'ouvert E-\overline{X}, car celui-ci serait alors un voisinage de x ne rencontrant pas X ; donc il appartient à \overline{X}.
  2. Si le point x de E n'est pas adhérent à X, il existe un voisinage de x qui ne rencontre pas X ; ce voisinage contient un ouvert U qui contient x et ne rencontre pas X. Il s'ensuit que le complémentaire de U dans E est un fermé qui contient X, et donc qui contient \overline{X}. Puisque x est dans U, x n'est pas dans \overline{X}.

Intuitivement, l'adhérence d'une partie X contient tous les points de l'espace qui sont dans X ou qui sont trop près de X pour que l'on puisse y " bricoler " localement sans toucher (Le toucher, aussi appelé tact ou taction, est l'un des cinq sens de l'homme ou de l'animal, essentiel pour la survie et le développement des êtres vivants, l'exploration, la...) à X.

Dans un espace métrique (En mathématiques, un espace métrique est un ensemble au sein duquel une notion de distance entre les éléments de l'ensemble est définie. C'est un cas particulier d'espace topologique.) (la topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni recollement des structures).) est issue d'une distance sur l'espace considéré), l'adhérence d'un ensemble X est l'ensemble contenant toutes les limites de suites formée des éléments de X.

Exemples

L'ensemble des réels \mathbb R est l'adhérence de l'ensemble des rationnels \mathbb Q. En effet, tout ouvert contenant un irrationnel contient un rationnel. Tout irrationnel est donc dans l'adhérence de \mathbb Q.

L'adhérence d'un intervalle de \mathbb R, c'est l'intervalle fermé de mêmes bornes.

Densité (La densité ou densité relative d'un corps est le rapport de sa masse volumique à la masse volumique d'un corps pris comme référence. Le corps de référence est l'eau pure à 4 °C...)

On dit qu'une partie X d'un espace topologique (En mathématiques, les espaces topologiques permettent de définir dans un contexte très général des concepts comme la convergence, la continuité et la connexité. Ces concepts...) E est dense lorsque son adhérence est l'espace E tout entier. Une telle partie se caractérise donc par le fait que tout ouvert non vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.) en contient un point.

Un point x de X est dense si {x} est dense. On l'appelle parfois aussi point générique.

Intuitivement, les parties denses d'un espace sont donc des parties qui sont très grosses : on ne peut pas les éviter.

Pièges

Boules ouvertes et boules fermées

Celui qui n'est jamais tombé dans celui-ci, n'a jamais fait de topologie ! Dans un espace métrique, on définit des boules ouvertes et des boules fermées, et la tentation est grande d'utiliser B_f=\overline B dans ce cadre. Il est vrai que dans un certain nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de cas, cela marche (La marche (le pléonasme marche à pied est également souvent utilisé) est un mode de locomotion naturel. Il consiste en un déplacement en appui alternatif sur les jambes, en position debout et en...) bien, notamment les \mathbb R^n avec la distance usuelle, et plus généralement pour la distance \Vert x-y\Vert\, dans un espace vectoriel normé (Un espace vectoriel normé est une des structures importantes rencontrées en analyse, et plus particulièrement en analyse fonctionnelle. Développée notamment par David Hilbert et Stefan Banach, cette...)...

Néanmoins, c'est faux en général ; voyons l'exemple le plus simple : soit un ensemble E, avec au moins deux éléments. On définit une métrique dessus ainsi : la distance entre deux points distincts est 1. La boule ouverte de rayon 1 centrée en un point est donc ce point. La boule fermée de rayon 1 centrée en un point est donc l'espace entier. L'adhérence de la boule ouverte de rayon 1 centrée en un point est le point !

Un point c'est petit

Un point, ça n'a l'air (L'air est le mélange de gaz constituant l'atmosphère de la Terre. Il est inodore et incolore. Du fait de la diminution de la pression de l'air avec l'altitude,...) de rien, et pourtant, dans certains espaces, certains points peuvent prendre une grande place !

Considérons l'ensemble des nombres premiers, auxquels on rajoute 0. On définit une topologie (via des fermés) de la façon suivante :

  • un ensemble fini (En mathématiques, un ensemble E est dit fini si et seulement si E est vide ou s'il existe un entier n et une bijection de E dans l'ensemble des n...) de nombre premiers est fermé ;
  • l'espace entier est fermé ;

dans ce cas, l'adhérence de 0 est l'espace tout entier, ce qui signifie qu'on ne peut pas le mettre de côté pour travailler au voisinage d'un autre point. C'est un point dense/générique. (NB: en géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, les figures d'autres...) algébrique, ce genre de situation (En géographie, la situation est un concept spatial permettant la localisation relative d'un espace par rapport à son environnement proche ou non. Il inscrit un lieu dans un cadre plus...) est très courant, car l'espace de base, le spectre d'anneau, vérifie souvent ce genre de propriétés ; en fait, cet exemple est Spec\,\mathbb Z)

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