Boule (mathématiques)
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En topologie, une boule est un sous-ensemble particulier d'un espace métrique. Le nom évoque, à juste titre, un objet familier dans \R^3 et plus généralement dans \R^n muni de la distance euclidienne usuelle. Cependant, les boules peuvent avoir des " comportements " étranges dans les espaces métriques généraux, et ne pas être bien " rondes " dans les espaces vectoriels normés.

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) générale

  • Dans un espace métrique (En mathématiques, un espace métrique est un ensemble au sein duquel une notion de distance entre les éléments de l'ensemble est définie. C'est un cas particulier d'espace topologique.) (E,d), pour x_0\in E et \rho \in \mathbb{R}_+, on définit la boule ouverte de centre x0 et de rayon ρ comme étant l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme...) définit par \mathcal{B}(x_0,\rho):=\left\{x\in E\ /\ d(x,x_0)<\rho\right\}. La boule fermée de centre x0 et de rayon ρ est alors l'ensemble \overline{\mathcal{B}}(x_0,\rho):=\left\{x\in E\ /\ d(x,x_0)\leq\rho\right\} (notation concordante avec la notion d'adhérence).
  • Dans un espace vectoriel normé (Un espace vectoriel normé est une des structures importantes rencontrées en analyse, et plus particulièrement en analyse fonctionnelle. Développée notamment par David Hilbert et Stefan...) (E,||\cdot||), on a la même définition en posant d\colon(x,y)\mapsto||x-y||.

Exemples de boules exotiques

  • Si Z est muni de la distance induite par l'usuelle sur R, une boule ouverte de rayon 1 ne comporte qu'un point (Graphie), le centre, et est aussi fermée tandis qu'une boule fermée de rayon 1 comporte trois points, et a pour intérieur la boule ouverte correspondante.
  • Si la distance d est ultramétrique, les boules sont à la fois ouvertes et fermées, tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) point d'une boule en est un centre, et si deux boules se rencontrent l'une est contenue dans l'autre. On rencontre des distances ultramétriques en analyse p-adique (L’analyse p-adique est une branche des mathématiques qui traite des fonctions de nombres p-adiques.) mais aussi dans des situations plus élémentaires : sur l'ensemble des suites d'entiers NN la distance naturelle d, définie par 1/d(x,y)=\inf\{n:x_n \not= y_n\} entre deux éléments x=(xn) et y=(yn) distincts de NN, est ultramétrique et induit (L'induit est un organe généralement électromagnétique utilisé en électrotechnique chargé de recevoir l'induction de l'inducteur et de la transformer en électricité (générateur) ou en force (moteur).) la topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni recollement des structures).) produit habituelle sur NN.

Boules d'espaces normés

Par translation et homothétie (Une homothétie est une transformation géométrique, c'est-à-dire une règle qui associe à chaque point d’un espace un point de ce même espace. On dit aussi que c'est une application...), toutes les boules de rayon non nul sont semblables à la boule, ouverte ou fermée selon le cas, de centre l'origine et de rayon 1, appelée boule unité. Une boule unité est toujours un convexe (En géométrie, un objet est convexe si pour toute paire de points { A , B } de cet objet, le segment [AB] qui les joint est entièrement contenu dans l'objet. Par exemple, un cube plein, un...) non aplati symétrique par rapport à l'origine. D'après un théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un...) célèbre de F. Riesz, un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une introduction au...) normé est de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de...) finie si et seulement si sa boule (fermée) unité est compacte.

Sur un espace vectoriel de dimension finie sur R ou C, toutes les normes sont équivalentes. Cependant la forme géométrique des boules est diverse parmi les convexes symétriques. Par exemple, dans Rn, toute partie convexe fermée, bornée, symétrique par rapport à l'origine et non aplatie est la boule fermée unité d'une certaine norme (Une norme, du latin norma (« équerre, règle ») désigne un état habituellement répandu ou moyen considéré le plus souvent comme une règle à suivre. Ce terme...).

Sur Rn (ou Cn), il existe trois normes très usitées, dites norme\ell^1, norme\ell^2 (c'est la norme euclidienne usuelle) et norme\ell^{\infty}. Elles sont définies comme suit, pour x=(x1,...,xn) dans Rn,

\|x\|_{\ell^1}=|x_1|+\cdots+|x_n|\quad,\quad\|x\|_{\ell^2}=\sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2}\quad,\quad\|x\|_{\ell^{\infty}}=\max{(|x_1|,\dots,|x_n|)}

Pour n=2, la boule unité de la première est un carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la...) " en losange " inscrit dans la boule de la deuxième, un disque (Le mot disque est employé, aussi bien en géométrie que dans la vie courante, pour désigner une forme ronde et régulière, à l'image d'un palet — discus en latin.), lui-même inscrit dans la boule de la troisième, un carré " normal ".

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