Matrice de passage

Une matrice de passage (ou encore matrice de changement de base) permet d'écrire des formules de changement de base pour les représentations matricielles des vecteurs, des applications linéaires et des formes bilinéaires.

Soient un corps commutatif, E un K-espace vectoriel, et B, B' deux bases de E.

Cette définition permet une preuve rapide des théorèmes de changement de base, mais le paragraphe ci dessous fournira l'interprétation suivante, bien plus pratique : Si $B=(e_1\dots e_n)$ et $B^{\prime }=(e_1^{\prime }\dots e_n^{\prime })$, et si $\forall j\in [[1,n]],e^{\prime }j=\sum {i=1}^n{a}_{i,j}{e}_i$ alors

Pour des raisons mnémotechniques on qualifie B' de nouvelle base, B d'ancienne base.

Les colonnes de la matrice de passage sont donc simplement les coordonnées des vecteurs de la nouvelle base, exprimés dans l'ancienne base.

Soit un vecteur $x\in E$, ayant respectivement pour matrice colonne de coordonnées X et X' dans deux bases B et B' . Alors

$$X=P_B^{B^{\prime }}{X}^{\prime }.$$

En effet, pour toute application linéaire f, de matrice A dans un couple de bases (B',B), les coordonnées X' de x dans B' et les coordonnées X de f(x) dans B sont reliées par X=AX' . Or pour f=Id_E on a f(x)=x et $A=P_B^{B^{\prime }}$.

Ce résultat fournit la preuve de l'interprétation pratique annoncée lors de la définition, puisque pour x=e'_j, $P_B^{B^{\prime }}{X}^{\prime }$ est la j colonne de P et X est le n-uplet des coordonnées de e'_j dans B.

Soient B et B' deux bases de E. Alors $P_B^{B^{\prime }}$ est inversible et ${\left(P_B^{B^{\prime }}\right)}^{-1}=P_{B^{\prime }}^B.$

En effet, $P_B^{B^{\prime }}{P}_{B^{\prime }}^B={\mathcal{M}}_{B^{\prime },B}(\mathrm{Id}E)\mathcal{M}B,B^{\prime }(\mathrm{Id}E)=MB,B({\mathrm{Id}}_E)=I_n.$

Soient $\mathcal{E},{\mathcal{E}}^{\prime }$ deux bases de E et $\mathcal{F},{\mathcal{F}}^{\prime }$ deux bases de F, $f:E\to F$ une application linéaire, de matrices A dans les bases $\mathcal{E},\mathcal{F}$ et B dans les bases ${\mathcal{E}}^{\prime },{\mathcal{F}}^{\prime }$, alors

$$B=Q^{-1}AP,$$

où

P est la matrice de passage de $\mathcal{E}$ à ${\mathcal{E}}^{\prime }$ et

Q est la matrice de passage de $\mathcal{F}$ à ${\mathcal{F}}^{\prime }$.

En effet, $Q^{-1}AP={\mathcal{M}}_{{\mathcal{F}}^{\prime },\mathcal{F}}^{-1}(\mathrm{Id}F)[\mathcal{M}\mathcal{E},\mathcal{F}(f){\mathcal{M}}_{{\mathcal{E}}^{\prime },\mathcal{E}}(\mathrm{Id}E)]=\mathcal{M}\mathcal{F},{\mathcal{F}}^{\prime }(\mathrm{Id}F)\mathcal{M}{\mathcal{E}}^{\prime },\mathcal{F}(f)={\mathcal{M}}_{{\mathcal{E}}^{\prime },{\mathcal{F}}^{\prime }}(f)=B.$

Les matrices A et B sont alors dites équivalentes.

Dans le cas particulier d'un endomorphisme (i.e. F=E), si l'on choisit $\mathcal{F}=\mathcal{E}$ et ${\mathcal{F}}^{\prime }={\mathcal{E}}^{\prime }$ (donc Q=P), les matrices A et B sont dites semblables.

Cas usuel

Soient $\mathcal{E},{\mathcal{E}}^{\prime }$ deux bases de E, P la matrice de passage de $\mathcal{E}$ à ${\mathcal{E}}^{\prime }$, et φ une forme bilinéaire sur E, de matrices A dans $\mathcal{E}$ et B dans ${\mathcal{E}}^{\prime }$. Alors

$B{=}^{t}PAP$,

où ${}^{t}P$ désigne la matrice transposée de P.

En effet, pour tous n-uplets de réels X' et Y' , en désignant par x et y les vecteurs de coordonnées X' et Y' dans ${\mathcal{E}}^{\prime }$, et par X et Y les coordonnées de ces mêmes vecteurs dans $\mathcal{E}$, on a

ce qui, puisque X' et Y' sont arbitraires, prouve l'égalité des deux matrices.

Les matrices A et B sont alors dites congruentes.

Variantes

• Il arrive que l'on considère une forme bilinéaire φ définie non pas sur ExE mais sur ExF où F est un espace vectoriel non nécessairement égal à E. Si $\mathcal{E},{\mathcal{E}}^{\prime }$ sont deux bases de E avec matrice de passage P, et $\mathcal{F},{\mathcal{F}}^{\prime }$ deux bases de F avec matrice de passage Q, la formule de changement de bases devient :

$B{=}^{t}PAQ.$.

• On peut également considérer une forme sesquilinéaire au lieu d'une forme bilinéaire. Dans ce cas il faut remplacer, dans les formules, la transposée de la matrice de passage par sa matrice adjointe.