Matrice de passage - Définition et Explications

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Une matrice de passage permet d'écrire des formules de changement de base pour les représentations matricielles des vecteurs, des endomorphismes, des formes bilinéaires.

Définition

Soient \mathbb K un corps, E un K-espace vectoriel.

Soient deux bases B=(e_1 \dots e_n) et B'=(e'_1 \dots e'_n) de E. Pour des raisons mnémotechniques on qualifie B' de nouvelle base, B d'ancienne base.

On définit ainsi la matrice de passage (Une matrice de passage permet d'écrire des formules de changement de base pour les représentations matricielles des vecteurs, des endomorphismes, des formes bilinéaires.) de B à B', notée P_B^{B'} :

P_B^{B'} = (a_{i,j})_{i,j=1}^n \in \mathcal M_n(\mathbb K) telle que \forall j \in [\![1,n]\!], \quad e'_j=\sum_{i=1}^n a_{i,j}e_i

Les colonnes de cette matrice sont les matrices représentatives des vecteurs de la nouvelle base, exprimés dans l'ancienne base.

On peut aussi interpréter la matrice de passage comme la matrice représentative de l'application identité (En mathématiques, sur un ensemble X donné, la fonction identité est la fonction, notée id qui à tout élément x de X associe lui-même :), de E muni de la base B' dans E muni de la base B. On a P_B^{B'}=\mathcal M_{B'B}(\mathrm{Id}_E)\mathcal M_{B'B}(\mathrm{Id}_E) est la matrice de IdE relativement à B' et B.

Théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un théorème...)

Enoncé

Soit un vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer un exemple de vecteur,...) x \in E, ayant respectivement pour composantes X=\begin{bmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} et X'=\begin{bmatrix} x'_1 \\ \vdots \\ x'_n \end{bmatrix} dans deux bases B et B'.

Alors X=P_{B}^{B'}X'

Démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment...)

La décomposition (En biologie, la décomposition est le processus par lequel des corps organisés, qu'ils soient d'origine animale ou végétale dès l'instant qu'ils sont privés de vie, dégénèrent sous l'action de...) du vecteur dans les deux bases nous donne x=\sum_{j=1}^n x_j e_j=\sum_{j=1}^n x'_j e'_j

De plus, \forall j \in [\![1,n]\!], e'_j=\sum_{i=1}^n a_{i,j}e_i

Par substitution,

x=\sum_{j=1}^n x'_j \sum_{i=1}^n a_{i,j}e_i
x=\sum_{i=1}^n \left(\sum_{j=1}^n a_{i,j} x'_j\right) e_i

La décomposition du vecteur étant unique dans chaque base, on peut procéder à l'identification des coefficients:

\forall i \in [\![1,n]\!], x_i=\sum_{j=1}^n a_{i,j} x'_j = \left(P_B^{B'}\cdot X'\right)_i, d'où X=P_B^{B'}X'

Inversibilité

Soient B et B' deux bases de E Alors P_B^{B'} est inversible et \left(P_B^{B'}\right)^{-1}=P_{B'}^B

Démonstration

P_B^{B'}P_{B'}^B=\mathcal M_{B',B}(\mathrm{Id}_E)\mathcal M_{B,B'}(\mathrm{Id}_E) = M_{B,B}(\mathrm{Id}_E) = I_n
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