Une matrice de passage (ou encore matrice de changement de base) permet d'écrire des formules de changement de base pour les représentations matricielles des vecteurs, des applications linéaires et des formes bilinéaires.
Définition
Soient
un corps commutatif, E un K-espace vectoriel, et B, B' deux bases de E.
La matrice de passage de B à B' , notée , est la matrice représentative de l'application identitéIdE, de E muni de la base B' dans E muni de la base B :
Cette définition permet une preuve rapide des théorèmes de changement de base, mais le paragraphe ci dessous fournira l'interprétation suivante, bien plus pratique : Si
et
, et si
alors
Pour des raisons mnémotechniques on qualifie B' de nouvelle base, B d'ancienne base.
Les colonnes de la matrice de passage sont donc simplement les coordonnées des vecteurs de la nouvelle base, exprimés dans l'ancienne base.
Inverse
Soient B et B' deux bases de E. Alors
est inversible et
En effet,
Changement de coordonnées pour un vecteur
Soit un vecteur
, ayant respectivement pour matrice colonne de coordonnées X et X' dans deux bases B et B' . Alors
En effet, pour toute application linéairef, de matrice A dans un couple de bases (B',B), les coordonnées X' de x dans B' et les coordonnées X de f(x) dans B sont reliées par X=AX' . Or pour f=IdE on a f(x)=x et
.
Ce résultat fournit la preuve de l'interprétation pratique annoncée lors de la définition, puisque pour x=e'j,
est la je colonne de P et X est le n-uplet des coordonnées de e'j dans B.
Changement de matrice pour une forme bilinéaire
Cas usuel
Soient
deux bases de E, P la matrice de passage de
à
, et φ une forme bilinéaire sur E, de matrices A dans
et B dans
. Alors
,
où
désigne la matrice transposée de P.
En effet, pour tous n-uplets de réels X' et Y' , en désignant par x et y les vecteurs de coordonnées X' et Y' dans
, et par X et Y les coordonnées de ces mêmes vecteurs dans
, on a
ce qui, puisque X' et Y' sont arbitraires, prouve l'égalité des deux matrices.
Les matrices A et B sont alors dites congruentes.
Variantes
Il arrive que l'on considère une forme bilinéaire φ définie non pas sur ExE mais sur ExF où F est un espace vectoriel non nécessairement égal à E. Si
sont deux bases de E avec matrice de passage P, et
deux bases de F avec matrice de passage Q, la formule de changement de bases devient :
.
On peut également considérer une forme sesquilinéaire au lieu d'une forme bilinéaire. Dans ce cas il faut remplacer, dans les formules, la transposée de la matrice de passage par sa matrice adjointe.
Changement de matrice pour une application linéaire
Soient
deux bases de E et
deux bases de F,
une application linéaire, de matrices A dans les bases
et B dans les bases
, alors
où
P est la matrice de passage de
à
et
Q est la matrice de passage de
à
.
En effet,
Les matrices A et B sont alors dites équivalentes.
Dans le cas particulier d'un endomorphisme (i.e. F=E), si l'on choisit
et
(donc Q=P), les matrices A et B sont dites semblables.
![\forall j \in [\![1,n]\!], \quad e'_j=\sum_{i=1}^n a_{i,j}e_i](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/2/27d81ad5b0f39251d7f260f525f7cb28_003c8c6078324e9b3157eeb0bd05bbf3.png)
![Q^{-1}AP=\mathcal M_{\mathcal F',\mathcal F}^{-1}(\mathrm{Id}_F)[\mathcal M_{\mathcal E,\mathcal F}(f)\mathcal M_{\mathcal E',\mathcal E}(\mathrm{Id}_E)]= \mathcal M_{\mathcal F,\mathcal F'}(\mathrm{Id}_F)\mathcal M_{\mathcal E',\mathcal F}(f)= \mathcal M_{\mathcal E',\mathcal F'}(f)=B.](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/4/49e2a2c3f84a24be54c17991dc3f0198_2aa40b17000490d713199a37ce9cab2a.png)
