Connexité par arcs
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La notion topologique de connexité par arcs est un raffinement de la notion de connexité. Un espace topologique est dit connexe par arcs si deux points quelconques peuvent toujours être reliés par un chemin. En fait, la connexité est la notion fondamentale (En musique, le mot fondamentale peut renvoyer à plusieurs sens.). Mais la connexité par arcs est plus intuitive, et se trouve être très souvent la meilleure façon de prouver la connexité.

Chemins

Avant de définir la connexité par arcs il faut définir ce qu'on appelle " relier par un chemin ". Selon le cadre où l'on se trouve on peut considérer des chemins particuliers.

Chemins dans un espace topologique (En mathématiques, les espaces topologiques permettent de définir dans un contexte très général des concepts comme la convergence, la continuité et la connexité. Ces concepts apparaissent dans presque toutes les...)

Si E \,\! est un espace topologique et si x \,\! et y \,\! sont deux points de E \,\!, on appelle chemin d'origine x \,\! et d'extrémité y \,\! toute application continue \gamma : [0,1] \rightarrow E \,\! telle que \gamma(0) = x \,\! et \gamma(1) = y \,\!.

On dit que x \,\! et y \,\! sont reliés si et seulement s’il existe un chemin d'origine x \,\! et d'extrémité y \,\!.

Propriété : La relation " x \,\! est relié à y \,\! " est une relation d'équivalence :

  • x \,\! est relié à x \,\! ;
(grâce au chemin constant \forall t \in [0,1],\, \gamma(t)=x \,\!)
  • si x \,\! est relié à y \,\! alors y \,\! est relié à x \,\! ;
(grâce au chemin opposé \forall t \in [0,1],\, \bar{\gamma}(t) =  \gamma (1-t)\,\!)
  • si x \,\! est relié à y \,\! et y \,\! est relié à z \,\! alors x \,\! est relié à z \,\! ;
(si \gamma_1 \,\! relie x \,\! à y \,\! et \gamma_2 \,\! relie y \,\! à z \,\! alors le chemin composé \gamma = \gamma_2 \star \gamma_1 \,\! défini par \gamma(t) = \gamma_1(2t) \,\! si 0 \leq t \leq \frac{1}{2} \,\! et \gamma(t) = \gamma_2(2t-1) \,\! si \frac{1}{2} \leq t \leq 1 \,\! relie x \,\! à z \,\!)

Chemins dans un espace vectoriel normé (Un espace vectoriel normé est une des structures importantes rencontrées en analyse, et plus particulièrement en analyse fonctionnelle. Développée notamment par David Hilbert et Stefan Banach,...)

Dans le cas où l'espace ambiant E \,\! est un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une introduction au...) normé, on peut préciser la nature des chemins qui relient les points.

  • Chemins rectilignes : un chemin est dit rectiligne si et seulement il peut s'écrire \forall t \in [0,1],\, \gamma(t) = x + t \vec{u} \,\!. \vec{u} \,\! est appelé vecteur directeur de \gamma \,\!. Le support du chemin est alors un segment de droite.
  • Chemins polygonaux : un chemin est dit polygonal si et seulement s’il s'écrit comme un composé d'un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) fini de chemins rectilignes. Par exemple, un trajet dans Manhattan (Manhattan est l'une des cinq circonscriptions (borough) de la ville de New York (les quatre autres étant The Bronx, Queens, Brooklyn et Staten Island). La circonscription de Manhattan se superpose...) est un chemin polygonal.
  • Chemins de classe C^k \,\! : un chemin peut être de classe C^k \,\! avec k \geq 0 \,\!. En fait tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) chemin est de classe C^0 \,\! c'est-à-dire continu, mais on peut avoir des niveaux de régularité supérieurs. Un chemin de classe C^k \,\! avec k \geq 1 \,\! sera dit de plus régulier si \forall t \in ]0,1[ ,\, \gamma ' (t) \neq 0 \,\!. Un chemin régulier de classe C^{\infty} \,\! est dit chemin lisse.

Connexité par arcs

Ces différents types de chemins vont permettre de définir différents types de connexité par arcs selon les cas.

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions...)

Deux points quelconques peuvent être reliés par un chemin tracé dans cette partie
Deux points quelconques peuvent être reliés par un chemin tracé dans cette partie

Un espace topologique E \,\! est dit connexe par arcs si et seulement si tout couple de points de E \,\! est relié par un chemin.

Une partie A \,\! de E \,\! est dite connexe par arcs si et seulement tout couple de points de A \,\! sont relié par un chemin restant dans A \,\!.

Une partie A \,\! d'un espace vectoriel normé est dite connexe par arcs polygonaux (resp. par arcs C^k \,\!) si deux points quelconques de A \,\! peuvent être reliés par un chemin polygonal (resp. de classe C^k \,\!).

La connexité par arcs rectilignes correspond à la convexité.

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