Matrice définie positive
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En algèbre linéaire, la notion de matrice définie positive est analogue à celle de nombre réel strictement positif.

On introduit tout d'abord les notations suivantes ; si a est une matrice à éléments réels ou complexes :

  • aT désigne la transposée de a
  • a * désigne la matrice transconjuguée de a (conjuguée de la transposée)

On rappelle que :

  • \mathbb{R} désigne le corps des nombres réels
  • \mathbb{C} désigne le corps des nombres complexes

Matrice symétrique (ce qui exige que A soit une matrice carrée.) réelle définie positive

Soit M une matrice symétrique réelle d'ordre n. Elle est dite définie positive si elle vérifie l'une des 3 propriétés équivalentes suivantes :

1. Pour toute matrice colonne non nulle \ \textbf{x} à n éléments réels, on a
\textbf{x}^{T} M \textbf{x} > 0.
2. Toutes les valeurs propres de M sont strictement positives, c'est-à-dire :
\ \mathrm{sp}(M)  \subset\, ]0,\, +\infty[\,.
3. La forme bilinéaire (Soit E, F et G trois espaces vectoriels sur un corps . Soit une application, on dit que est bilinéaire si et seulement si elle est linéaire en chacune de ses variables, c'est-à-dire: : ) symétrique définie par la relation
\langle \textbf{x},\textbf{y}\rangle_M = \textbf{x}^{T} M \textbf{y}

est un produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois définissant la structure d'espace vectoriel. À deux vecteurs elle associe leur...) sur \mathbb{R}^n (identifié ici à l'espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une introduction au concept de...) des matrices colonnes à n éléments réels).

Une matrice symétrique réelle est dite définie négative si son opposée (symétrique elle aussi) est définie positive.

La propriété 1 signifie que M définit une \mathbb{R}^n une forme quadratique (En mathématiques, une forme quadratique est un polynôme homogène de degré deux avec un nombre quelconque de variables. Par exemple, la distance comprise entre deux points dans un espace euclidien à trois...) définie positive, la propriété 2 que sur \mathbb{R}^n, vu comme espace euclidien (Un espace euclidien, dans la conception actuelle, est un espace vectoriel ou affine réel de dimension finie muni d'un produit scalaire. Dans un tel espace, on peut traiter des...) avec le produit scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les vecteurs, par opposition à un pseudoscalaire, qui est un nombre qui peut dépendre de la base.) <x,y>=\sum_{i=1}^nx_iy_i, M définit un opérateur (Le mot opérateur est employé dans les domaines :) auto-adjoint positif. L'équivalence entre 1 et 2 vient de cette double interprétation, à la lumière (La lumière est l'ensemble des ondes électromagnétiques visibles par l'œil humain, c'est-à-dire comprises dans des longueurs d'onde de 380nm (violet) à 780nm (rouge). La lumière est intimement liée...) de la réduction de Gauss et du théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un...) spectral. Si 1 est vraie, sachant que les valeurs propres d'une matrice symétrique réelle sont réelles, on voit en appliquant 1 aux vecteurs propres que les valeurs propres sont strictement positives. Si 2 est vraie, il existe une matrice orthogonale (Une matrice carrée A (n lignes, n colonnes) à coefficients réels est dite orthogonale si elle vérifie :) \,Q telle que \,QAQ^{-1} soit diagonale (On appelle diagonale d'un polygone tout segment reliant deux sommets non consécutifs (non reliés par un côté). Un polygone à n côtés possède diagonales.) (parce que \,A est symétrique réelle) à coefficients diagonaux positifs (c'est l'hypothèse 2 sur les valeurs propres). Mais comme Q − 1 = tQ, la matrice \,A est aussi congrue à la matrice diagonale (En algèbre linéaire, une matrice diagonale est une matrice carrée dont les coefficients en dehors de la diagonale principale sont nuls. Les coefficients de la diagonale peuvent être ou ne pas être nuls. Ainsi, la matrice D = (di,j) est...) en question, donc la forme quadratique \textbf{x}^{T} M \textbf{x} est définie positive.

Exemple : matrice de Hilbert

On appelle matrice de Hilbert la matrice (symétrique d'ordre n) H = (h_{i,\, j}), telle que h_{i,\, j} = \frac{1}{i + j  - 1}. Elle est définie positive.

En effet, soit une matrice colonne quelconque \ \textbf{x} à n éléments réels x_1, \dots, x_n.
On remarque que \forall\, i,\, \forall\, j,\, h_{i,\,j} = \int_0^1 t^{i + j - 2}\, dt. Alors, par linéarité de l'intégrale :
\textbf{x}^{T} H \textbf{x} = \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^n h_{i,\, j}\, x_i\, x_j = \int_0^1 \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^n t^{i + j - 2}\, x_i\, x_j\, dt =
\int_0^1 \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^n \left(t^{i - 1}\, x_i\right)\,  \left(t^{j - 1}\,  x_j\right)\,dt  = \int_0^1 \left(\sum_{i = 1}^n t^{i - 1}\, x_i\right)\, \left(\sum_{j = 1}^n t^{j - 1}\,  x_j\right)\,dt,
d'où enfin : \textbf{x}^{T} H \textbf{x} = \int_0^1 \left(\sum_{i = 1}^nx_i\,  t^{i - 1}\right)^2\, dt.
Dans cette dernière intégrale (Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé intégration. Une intégrale est donc composée d'un intégrande (la...), l'intégrande (Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé intégration. Une intégrale est donc composée d'un...) est continu et à valeurs positives. Par conséquent :
  • \textbf{x}^{T} H \textbf{x} \geq 0 ;
  • si \textbf{x}^{T} H \textbf{x} = 0, alors pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) t \in\, [0,\, 1],\, \left(\sum_{i = 1}^nx_i\,  t^{i - 1}\right)^2 = 0.
Donc pour tout t \in\, [0,\, 1],\, \sum_{i = 1}^nx_i\,  t^{i - 1} = 0.
Il en résulte que les \ x_i, coefficients d'un polynôme (En mathématiques, un polynôme est la combinaison linéaire des puissances d'une variable, habituellement notée X. Ces objets sont largement utilisés en...) admettant une infinité de racines, sont tous nuls, c'est-à-dire \ \textbf{x} = 0.
Ceci prouve que \textbf{x}^{T} H \textbf{x} > 0 pour toute matrice colonne non nulle \ \textbf{x} à n éléments réels.

Nota : ceci est un cas particulier d'une propriété des matrices de Gram. La matrice de Gram d'une famille de n vecteurs d'un espace préhilbertien (réel ou complexe) est définie positive si et seulement si la famille est libre.,

Matrice hermitienne définie positive

On étend les propriétés et définitions précédentes aux matrices complexes hermitiennes.

Soit M une matrice hermitienne d'ordre n. Elle est dite définie positive si elle vérifie l'une des 4 propriétés équivalentes suivantes :

1. Pour toute matrice colonne non nulle \ \textbf{z} à n éléments complexes, on a
\textbf{z}^{*} M \textbf{z} > 0.
2. Toutes les valeurs propres de M sont strictement positives, c'est-à-dire :
\ \mathrm{sp}(M)  \subset\, ]0,\, +\infty[\,.
3. La forme sesquilinéaire définie par la relation
\langle \textbf{x},\textbf{y}\rangle_M = \textbf{x}^{*} M \textbf{y}

est un produit scalaire sur \mathbb{C}^n (identifié ici à l'espace vectoriel des matrices colonnes à n éléments complexes).

Une matrice hermitienne est dite définie négative si son opposée (hermitienne elle aussi) est définie positive.

Propriétés

Les propriétés suivantes sont communes aux matrices symétriques réelles et aux matrices complexes hermitiennes.

  1. Toute matrice définie positive (En algèbre linéaire, la notion de matrice définie positive est analogue à celle de nombre réel strictement positif.) est inversible (à déterminant réel strictement positif), et son inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un élément y tel que x·y = y·x = 1, si 1 désigne...) est elle aussi définie positive.
  2. Si M est définie positive et r est un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) réel strictement positif, alors rM est définie positive.
  3. Si M et N sont définies positives, alors M + N est définie positive.
  4. Si M et N sont définies positives, et si MN = NM (on dit qu'elles commutent), alors MN est définie positive.
  5. Une matrice M est définie positive si et seulement s'il existe une matrice définie positive A telle que A2 = M ; dans ce cas, la matrice définie positive A est unique, et on peut la noter A = M1 / 2

Critère de Sylvester

Pour qu'une matrice A=\big(a_{ij}\big)_{1\le i,j\le n}, symétrique réelle ou complexe hermitienne, soit définie positive, il faut et suffit que les les n matrices A_p=\big(a_{ij}\big)_{1\le i,j\le p} aient leur déterminant strictement positif.

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