En algèbre, une forme sesquilinéaire sur un espace vectoriel complexe E est une application de E × E dans
Les formes sesquilinéaires les plus étudiées sont les formes hermitiennes. Parmi celle-ci, les formes hermitiennes définies positives permettent de munir E d'un produit scalaire et ouvrent à l'étude des espaces hermitiens, des espaces préhilbertiens complexes et des espaces de Hilbert.
Forme semi-linéaire : Soit E un
Une application semi-linéaire vérifie : f(ix) = − if(x), ce qui justifie l'autre terme utilisé : application anti-linéaire.
Les conventions qui suivent imposent un choix de l'argument qui est linéaire. Le choix ci-dessous (forme sesquilinéaire à gauche : première variable semi-linéaire, deuxième variable linéaire) est utilisé par tous les physiciens, ceci étant dû à l'origine à l'utilisation de la notation bra-ket (peut-être pas universel), mais le choix opposé est courant en mathématiques depuis les années 1950.
Forme sesquilinéaire (à gauche) : Une application f de E × F →
Les formes sesquilinéaires (à gauche) constituent un sous-espace vectoriel complexe de l'espace des applications de E x F dans C.
où X et Y sont les vecteurs colonnes, coordonnées de x et y dans la base (e1,...,en), et où A est la matrice définie par
L'espace vectoriel complexe des formes sesquilinéaires (à gauche) sur un espace vectoriel de dimension n est donc isomorphe à l'espace vectoriel des matrices carrées
Forme hermitienne à gauche (resp. à droite) : c'est une forme sesquilinéaire à gauche (resp. à droite, suivant la convention choisie) sur E x E qui vérifie la propriété de symétrie hermitienne :
Les formes hermitiennes (à gauche) constituent un espace vectoriel réel.
Forme hermitienne positive : c'est une forme hermitienne telle que :
Forme hermitienne définie : c'est une forme hermitienne telle que
Forme hermitienne non dégénérée : c'est une forme hermitienne telle que :
Toute forme hermitienne définie est donc non dégénérée. Pour une forme hermitienne positive, la réciproque est vraie grâce à l'inégalité de Cauchy-Schwarz : toute forme hermitienne positive non dégénérée est définie.
Une forme hermitienne définie positive (ou positive non dégénérée) est encore appelée produit scalaire (sous-entendu au sens complexe).