Système d'équations linéaires
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En mathématiques et particulièrement en algèbre linéaire, un système d'équations linéaires est un ensemble d'équations linéaires. Par exemple :

\begin{cases} 2x_1+\frac{3x_2}{2}+x_3=-1  \\ \frac{x_1}{2} + x_2 + 3x_3 = 4 \\2x_1+3x_2+\frac{x_3}{4}=3 \end{cases}

Le problème est de trouver les valeurs des inconnues x_1 \,, x_2 \, et x_3 \, qui satisfassent les trois équations simultanément.

Le résolution des systèmes d'équations linéaires appartient aux problèmes les plus anciens dans les mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les...) et ceux-ci apparaissent dans beaucoup de domaines, comme dans le traitement des signaux numériques ou dans l'approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de précision et d'exactitude, de quelque chose, mais encore assez significative pour être...) de problèmes non-linéaires en analyse numérique (Une information numérique (en anglais « digital ») est une information ayant été quantifiée et échantillonnée, par opposition à une information dite...). Un moyen efficace de résoudre un système d'équations linéaires est donné par l'élimination de Gauss-Jordan (En mathématiques, l'élimination de Gauss-Jordan, aussi appelée pivot de Gauss, nommée en hommage à Carl Friedrich Gauss et Wilhelm Jordan, est un algorithme de...) ou par la décomposition (En biologie, la décomposition est le processus par lequel des corps organisés, qu'ils soient d'origine animale ou végétale dès l'instant qu'ils sont privés de vie, dégénèrent sous l'action de...) de Cholesky ou encore par la décomposition LU (En algèbre linéaire, la décomposition LU est une méthode de décomposition d'une matrice en une matrice triangulaire inférieure L (comme "Low", bas) et une matrice triangulaire supérieure U (comme "Up", haut). Cette décomposition est...). Dans les cas simples, la règle de Cramer (La règle de Cramer est un théorème en algèbre linéaire qui donne la solution d'un système d'équations linéaires en termes de déterminants.) peut également être appliquée.

En général, un système de m équations linéaires à n inconnues peut être écrit sous la forme suivante :

\left\{\begin{matrix}  a_{1,1}x_1+a_{1,2}x_2+...+a_{1,n}x_n = b_1 \\ a_{2,1}x_1+a_{2,2}x_2+...+a_{2,n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ \vdots \\ a_{m,1}x_{1}+a_{m,2}x_{2}+...+a_{m,n}x_n = b_m\end{matrix}\right.

x1,...,xn sont les inconnues et les nombres ai,j sont les coefficients du système.

Un système d'équations linéaires peut aussi s'écrire sous la forme matricielle :

Ax = b

avec :

A=\begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n} \end{bmatrix}; x=\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2\\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} et b=\begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{bmatrix}

L'élimination de Gauss-Jordan, mentionnée ci-dessus, s'applique à tous ces systèmes, même si les coefficients viennent d'un corps arbitraire. Si le corps est infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque...) (comme c'est le cas pour les nombres réels et pour les nombres complexes) alors seulement les trois cas suivants sont possibles pour n'importe quel système donné d'équations linéaires:

  • Le système n'a pas de solution.
  • Le système a un unique n-uplet (En mathématiques, si n est un entier naturel non nul alors un n-uplet est une collection de n objets tel qu'il soit possible de dire exactement celui qui est le premier élément, le second...) solution.
  • Le système a une infinité de n-uplets solutions.

Un système de la forme :

Ax=0 \,

est appelé système d'équations linéaires homogènes. Tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) les systèmes homogènes admettent au moins une solution :

x_1=0 \ ; \ x_2=0 \ ; \ ... \ ; \ x_n=0

Cette solution est la solution nulle ou triviale. Les systèmes homogènes admettent une infinité de solutions si le système contient moins d'équations que d'inconnues.

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