N-uplet
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En mathématiques, si n est un entier naturel non nul alors un n-uplet est une collection de n objets tel qu'il soit possible de dire exactement celui qui est le premier élément, le second élément, ..., le nème. Les éléments sont aussi appelés composantes.

Si nous notons a1 le premier élément, a2 le deuxième élément, ..., an le nème élément, le n-uplet (En mathématiques, si n est un entier naturel non nul alors un n-uplet est une collection de n objets tel qu'il soit possible de dire exactement celui qui est le premier élément, le second élément, ..., le...) s'écrit : (a1,a2,...,an)

L'égalité des n-uplets se définit par

(a1,a2,...,an)=(b1,b2,...,bn) si et seulement si a1=b1, a2=b2, ..., an=bn.

Un 2-uplet est un couple, un 3-uplet est un triplet, un 4-uplet est un quadruplet, un 5-uplet est un quintuplet, ...

Si E1, ..., En sont des ensembles alors l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise...) des n-uplets (a1,a2,...,an) où a1 appartient à E1, ..., an appartient à En est le produit cartésien (En mathématiques, le produit cartésien de deux ensembles X et Y est l'ensemble de tous les couples, dont la première composante appartient à X et la seconde à Y. On généralise facilement...) des ensembles E1, ..., En.

Exemples

  • Les points de l'espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une introduction au concept de vecteur, voir l'article Vecteur.) ordinaire sont représentés par des triplets de réels
  • les nombres complexes sont construits à partir de couples de réels
  • un quaternion (Les quaternions, notés , sont un type de nombres hypercomplexes, constituant une extension des nombres complexes, extension similaire à celle qui avait conduit des nombres...) peut être représenté par un quadruplet.

Formalisation

Formellement, un n-uplet peut être défini en terme d'ensemble par

(a1,a2,...,an)={a1,{a1,{a2,{a2,{a3,{a3,...,{an-1,{an-1,an}}...}}}}

ou en utilisant une définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) récursive :

  1. un 1-uplet (a1) est simplement a1;
  2. si x est un n-uplet, alors (x,an+1) (i.e. {x,{x,an+1}}) est un (n+1)-uplet.

Il est assez facile de démontrer que ces définitions sont équivalentes, cependant les ensembles obtenus sont très différents.

Programmation (La programmation dans le domaine informatique est l'ensemble des activités qui permettent l'écriture des programmes informatiques. C'est une étape importante de la conception de logiciel (voire de matériel, cf. VHDL).)

Beaucoup de langages de programmation supportent les n-uplets comme type de donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un...), formés aussi bien d'objets tous de même type ou d'objets de types différents.

Le langage de programmation (Un langage de programmation est un langage informatique, permettant à un être humain d'écrire un code source qui sera analysé par une machine, généralement un ordinateur. Le code source subit ensuite une...) LISP a utilisé dès ses débuts la notion abstraite de paire (On dit qu'un ensemble E est une paire lorsqu'il est formé de deux éléments distincts a et b, et il s'écrit alors :) pour créer toutes ses structures de n-uplets et de listes, de manière similaire à la définition récursive précédente.

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