Théorèmes de Dini - Définition

Introduction

Il est tout le temps vrai qu'une suite de fonctions qui converge uniformément sur un ensemble converge aussi simplement. Malheureusement, la réciproque à cette proposition est en générale fausse. Prenons par exemple la suite de fonctions numériques définies sur telle que c'est-à-dire qui vaut 1 si et 0 partout ailleurs. Cette suite de fonctions converge simplement vers la fonction f constante qui vaut 1 sur mais elle ne converge pas uniformément vers cette fonction car le terme qui vaut 1 pour tout n ne peut donc pas tendre vers 0 si n tend vers l'infini.

Cependant, les théorèmes de Dini montrent que sous certaines hypothèses, la convergence simple d'une suite de fonctions implique la convergence uniforme de celle-ci. Ce sont donc des outils très efficace en pratique pour prouver qu'une suite de fonctions converge uniformément.

Premier théorème

Soit un espace métrique compact. Soit une suite de fonctions continues de dans telle que :

1. la suite converge simplement sur vers une fonction
2. est continue sur
3. , la suite est monotone

Alors la suite converge uniformément sur vers la fonction .

Démonstration

Soit 0\," > fixé quelconque. Pour tout , on considère les ensembles définis par:

• Remarque : d'après l'hypothèse 3. du théorème, on a la relation :

Puisque et les sont continues, on a immédiatement que les ensembles sont ouverts. De plus, puisque la suite de fonctions converge simplement vers , on sait que :

.

On en déduit que :

On vient de mettre en évidence un recouvrement de par des ouverts. Or est compact, donc on sait qu'il existe un nombre fini d'indices tels que :

Mais d'après la remarque de ci-dessus, on a les inclusions :

Donc, on a l'inclusion :

D'où :

Or d'après cette même remarque, on a :

On a donc mis en évidence un indice tel que :

n_{k} \Rightarrow \forall x \in X, |f(x) - f_{n}(x)|<\epsilon" >

Au total, en reformulant tout ceci, on a donc montré :

0 , \exists n_{k} \in \N, \forall n \in \N ,n>n_{k} \Rightarrow sup( \{|f(x)-f_{n}|, x \in X \} ) < \epsilon" >

ce qui signifie exactement que la suite de fonctions converge uniformément vers sur

Deuxième théorème

Soit un intervalle compact de et une suite de fonctions (non-nécessairement continues) de dans telle que :

1. la suite converge simplement sur vers une fonction  ;
2. la fonction est continue sur  ;
3. la fonction est croissante pour tout .

Alors la suite converge uniformément sur vers la fonction .

• Une démonstration de ce théorème

Bien que connu sous le nom de deuxième théorème de Dini dans l'enseignement francophone, il semble qu'en fait ce théorème soit dû à Pólya^[1].

Notes et références