Théorèmes de Dini
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Introduction

Il est tout le temps vrai qu'une suite de fonctions qui converge uniformément sur un ensemble converge aussi simplement. Malheureusement, la réciproque à cette proposition est en générale fausse. Prenons par exemple la suite de fonctions numériques définies sur \R\, telle que f_{n}(x)= 1_{[-n;n]}(x) \,\! c'est-à-dire qui vaut 1 si x \in [-n;n] et 0 partout ailleurs. Cette suite de fonctions converge simplement vers la fonction f constante qui vaut 1 sur \R mais elle ne converge pas uniformément vers cette fonction car le terme || f_{n} - f||_{\infty} qui vaut 1 pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) n ne peut donc pas tendre vers 0 si n tend vers l'infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou en taille.).

Cependant, les théorèmes de Dini (Il est tout le temps vrai qu'une suite de fonctions qui converge uniformément sur un ensemble converge aussi simplement. Malheureusement, la réciproque à cette proposition est en générale fausse. Prenons par exemple la suite...) montrent que sous certaines hypothèses, la convergence simple (La convergence simple ou ponctuelle est un critère de convergence dans un espace fonctionnel, c’est-à-dire dans un ensemble de fonctions. C'est un...) d'une suite de fonctions implique la convergence uniforme (La convergence uniforme d'une suite de fonctions est une forme de convergence plus exigeante que la convergence simple. Cette dernière demande en effet seulement que, pour chaque point x, la suite ait une limite. La convergence devient uniforme...) de celle-ci. Ce sont donc des outils très efficace en pratique pour prouver qu'une suite de fonctions converge uniformément.

Premier théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un...)

Soit (X,d)\, un espace métrique (En mathématiques, un espace métrique est un ensemble au sein duquel une notion de distance entre les éléments de l'ensemble est définie. C'est...) compact. Soit (f_{n})_{n \in \N}\, une suite de fonctions continues de X\, dans \R telle que :

  1. la suite (f_{n})_{n}\, converge simplement sur X\, vers une fonction f\,
  2. f\, est continue sur X\,
  3. \forall x \in X , la suite (f_{n}(x))_{n}\, est monotone

Alors la suite (f_{n})_{n}\, converge uniformément sur X\, vers la fonction f\,.

Démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir de propositions...)

Soit \epsilon > 0\, fixé quelconque. Pour tout n \in \N, on considère les ensembles V_{n,\epsilon}\, définis par:

V_{n,\epsilon}=\{x \in X, |f(x)-f_{n}(x)| < \epsilon\}
  • Remarque : d'après l'hypothèse 3. du théorème, on a la relation :
\forall p \in \N, \forall q \in \N, q<p \Rightarrow V_{q,\epsilon} \subset V_{p,\epsilon}

Puisque f\, et les f_{n}\, sont continues, on a immédiatement que les ensembles V_{n,\epsilon}\, sont ouverts. De plus, puisque la suite de fonctions (f_{n})\, converge simplement vers f\,, on sait que :

\forall x \in X, \exists n \in \N , |f(x)-f_{n}(x)| < \epsilon.

On en déduit que :

X \subset \bigcup_{n \in \N} V_{n,\epsilon}

On vient de mettre en évidence un recouvrement (Un recouvrement d'un ensemble X est un ensemble P de sous-ensembles non vides de X tel que l'union de ces sous-ensembles soit égal à X. Autrement dit P est un recouvrement de X si et...) de X\, par des ouverts. Or X\, est compact, donc on sait qu'il existe un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) fini d'indices n_{1}<n_{2}<...<n_{k}\, tels que :

X \subset \bigcup_{i=1}^{p} V_{n_{i},\epsilon}

Mais d'après la remarque de ci-dessus, on a les inclusions :

V_{n_{1},\epsilon} \subset ... \subset V_{n_{k},\epsilon}

Donc, on a l'inclusion :

\bigcup_{i=1}^{p} V_{n_{i},\epsilon} \subset V_{n_{k},\epsilon}

D'où :

X \subset V_{n_{k},\epsilon}

Or d'après cette même remarque, on a :

\forall n \in \N , n_{k}<n \Rightarrow X \subset V_{n_{k},\epsilon} \subset  V_{n,\epsilon}

On a donc mis en évidence un indice n_{k} \in \N tel que :

\forall n \in \N,n>n_{k} \Rightarrow \forall x \in X, |f(x) - f_{n}(x)|<\epsilon

Au total ( Total est la qualité de ce qui est complet, sans exception. D'un point de vue comptable, un total est le résultat d'une addition, c'est-à-dire une somme. Exemple : "Le total des dettes". En physique le total...), en reformulant tout ceci, on a donc montré :

\forall \epsilon > 0 , \exists n_{k} \in \N, \forall n \in \N ,n>n_{k} \Rightarrow sup( \{|f(x)-f_{n}|, x \in X \} ) < \epsilon

ce qui signifie exactement que la suite de fonctions ( f_{n})\, converge uniformément vers f\, sur X\,

Deuxième théorème

Soit [ a , b ]\, un intervalle compact de \R et (f_{n})_{n \in \N}\, une suite de fonctions (non-nécessairement continues) de [a , b ]\, dans \R telle que :

  1. la suite (f_{n})_{n}\, converge simplement sur X\, vers une fonction f\, ;
  2. la fonction f\, est continue sur X\, ;
  3. la fonction f_{n}\, est croissante pour tout n \in \N.

Alors la suite (f_{n})_{n}\, converge uniformément sur X\, vers la fonction f\,.

Bien que connu sous le nom de deuxième théorème de Dini dans l'enseignement (L'enseignement (du latin "insignis", remarquable, marqué d'un signe, distingué) est une pratique d'éducation visant à développer les connaissances d'un...) francophone, il semble qu'en fait ce théorème soit dû à Pólya[1].

Notes et références

  1. Pólya-Szegö, Problems and Theorems in Analysis
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