Théorèmes de Dini

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Introduction

Il est tout le temps vrai qu'une suite de fonctions qui converge uniformément sur un ensemble converge aussi simplement. Malheureusement, la réciproque à cette proposition est en générale fausse. Prenons par exemple la suite de fonctions numériques définies sur $R$ telle que $f_{n} (x) = 1_{[- n; n]} (x)$ c'est-à-dire qui vaut 1 si $x \in [- n; n]$ et 0 partout ailleurs. Cette suite de fonctions converge simplement vers la fonction f constante qui vaut 1 sur $R$ mais elle ne converge pas uniformément vers cette fonction car le terme $∣∣ f_{n} - f ∣ ∣_{\infty}$ qui vaut 1 pour tout n ne peut donc pas tendre vers 0 si n tend vers l'infini.

Cependant, les théorèmes de Dini montrent que sous certaines hypothèses, la convergence simple d'une suite de fonctions implique la convergence uniforme de celle-ci. Ce sont donc des outils très efficace en pratique pour prouver qu'une suite de fonctions converge uniformément.

Premier théorème

Soit $(X, d)$ un espace métrique compact. Soit $(f_{n})_{n \in N}$ une suite de fonctions continues de $X$ dans $R$ telle que :

la suite $(f_{n})_{n}$ converge simplement sur $X$ vers une fonction $f$
$f$ est continue sur $X$
$\forall x \in X$ , la suite $(f_{n} (x))_{n}$ est monotone

Alors la suite $(f_{n})_{n}$ converge uniformément sur $X$ vers la fonction $f$ .

Démonstration

Soit $ϵ > 0$ fixé quelconque. Pour tout $n \in N$ , on considère les ensembles $V_{n, ϵ}$ définis par:

V_{n, ϵ} = {x \in X, ∣ f (x) - f_{n} (x) ∣ < ϵ}

Remarque : d'après l'hypothèse 3. du théorème, on a la relation :

\forall p \in N, \forall q \in N, q < p \Rightarrow V_{q, ϵ} \subset V_{p, ϵ}

Puisque $f$ et les $f_{n}$ sont continues, on a immédiatement que les ensembles $V_{n, ϵ}$ sont ouverts. De plus, puisque la suite de fonctions $(f_{n})$ converge simplement vers $f$ , on sait que :

$\forall x \in X, \exists n \in N, ∣ f (x) - f_{n} (x) ∣ < ϵ$ .

On en déduit que :

X \subset n \in N ⋃ V_{n, ϵ}

On vient de mettre en évidence un recouvrement de $X$ par des ouverts. Or $X$ est compact, donc on sait qu'il existe un nombre fini d'indices $n_{1} < n_{2} < ... < n_{k}$ tels que :

X \subset i = 1 ⋃ p V_{n_{i}, ϵ}

Mais d'après la remarque de ci-dessus, on a les inclusions :

V_{n_{1}, ϵ} \subset ... \subset V_{n_{k}, ϵ}

Donc, on a l'inclusion :

i = 1 ⋃ p V_{n_{i}, ϵ} \subset V_{n_{k}, ϵ}

D'où :

X \subset V_{n_{k}, ϵ}

Or d'après cette même remarque, on a :

\forall n \in N, n_{k} < n \Rightarrow X \subset V_{n_{k}, ϵ} \subset V_{n, ϵ}

On a donc mis en évidence un indice $n_{k} \in N$ tel que :

\forall n \in N, n > n_{k} \Rightarrow \forall x \in X, ∣ f (x) - f_{n} (x) ∣ < ϵ

Au total, en reformulant tout ceci, on a donc montré :

\forall ϵ > 0, \exists n_{k} \in N, \forall n \in N, n > n_{k} \Rightarrow s u p ({∣ f (x) - f_{n} ∣, x \in X}) < ϵ

ce qui signifie exactement que la suite de fonctions $(f_{n})$ converge uniformément vers $f$ sur $X$

Deuxième théorème

Soit $[a, b]$ un intervalle compact de $R$ et $(f_{n})_{n \in N}$ une suite de fonctions (non-nécessairement continues) de $[a, b]$ dans $R$ telle que :

la suite $(f_{n})_{n}$ converge simplement sur $X$ vers une fonction $f$ ;
la fonction $f$ est continue sur $X$ ;
la fonction $f_{n}$ est croissante pour tout $n \in N$ .

Alors la suite $(f_{n})_{n}$ converge uniformément sur $X$ vers la fonction $f$ .

Une démonstration de ce théorème

Bien que connu sous le nom de deuxième théorème de Dini dans l'enseignement francophone, il semble qu'en fait ce théorème soit dû à Pólya.