Convergence uniforme

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Introduction

La convergence uniforme d'une suite de fonctions $(f_{n})_{n \in N}$ est une forme de convergence plus exigeante que la convergence simple. Cette dernière demande en effet seulement que, pour chaque point x, la suite $(f_{n} (x))_{n \in N}$ ait une limite. La convergence devient uniforme quand toutes les suites $(f_{n} (x))_{n \in N}$ avancent vers leur limite respective avec une sorte de « mouvement d'ensemble ».

Dans le cas de fonctions numériques d'une variable, la notion prend une forme d'évidence géométrique : le graphe de la fonction f_n se « rapproche » de celui de la limite.

Définition

Convergence uniforme

Soient $X$ un espace topologique, $(Y, d)$ un espace métrique et $A \subset X$ un sous-ensemble de $X$ .

Soit $(f_{n})_{n}$ une suite de fonctions définies sur $X$ et à valeurs dans $Y$ et $f$ une fonction définie sur $X$ à valeurs dans $Y$ . On dit que la suite $(f_{n})_{n}$ converge uniformément vers $f$ sur $A$ si :

(1) \forall ε > 0, \exists N_{ε} \in N, \forall n \in N, n \geq N_{ε} \Rightarrow \forall x \in A, d (f_{n} (x), f (x)) < ε

Remarque: la proposition (1) est équivalente à :

\forall ε > 0, \exists N_{ε} \in N, \forall n \in N, n \geq N_{ε} \Rightarrow x \in A sup (d (f_{n} (x), f (x)) < ε

Quelques explications

On peut se demander a posteriori quelle est la différence entre la convergence simple d'une suite de fonctions et la convergence uniforme. En effet, la suite de fonctions $(f_{n})_{n}$ converge simplement vers $f$ sur $A$ si :

\forall x \in X, \forall ε > 0, \exists N_{ε, x} \in N, \forall n \in N, n \geq N_{ε, x} \Rightarrow d (f_{n} (x), f (x)) < ε

Ici, l'indice $N_{ε, x}$ dépend de $x \in A$ alors que dans la proposition $(1)$ , l'indice $N_{ε}$ n'en dépend pas. Cette différence peut paraître anodine aux non-initiés, mais elle est pourtant essentielle:

Dans le cas de la convergence simple, pour tout élement $x \in A$ , on peut trouver un rang à partir duquel la distance $d (f_{n} (x), f (x))$ devient très petite. A priori, si on choisit un $y \in A$ autre que x alors le rang à partir duquel la distance $d (f_{n} (y), f (y))$ devienne très petite va être différent.
Dans le cas de la convergence uniforme, on peut trouver un rang à partir duquel la distance $d (f_{n} (x), f (x))$ devienne très petite pour n'importe quel $x \in A$ à la fois. Cette condition est donc beaucoup plus forte. En particulier, une suite de fonctions qui converge uniformément sur un ensemble converge simplement sur celui-ci. La réciproque est en général fausse sauf dans des cas très particuliers ( voir Théorèmes de Dini ).

Critère de Cauchy uniforme

Maintenant, on suppose en plus que l'espace métrique $(Y, d)$ est un espace complet. C'est le cas de bon nombre d'espaces métriques, comme par exemple de $(R, ∣ \cdot ∣)$ la droite réelle munie de sa valeur absolue ou encore plus généralement de tout espace de Banach.

Sous ces conditions, on montre qu'une suite de fonctions $(f_{n})_{n}$ converge uniformément sur $A$ si et seulement si elle vérifie le critère de Cauchy uniforme, à savoir :

\forall ε > 0, \exists N_{ε} \in N, \forall p \in N, \forall q \in N, (p, q \geq N_{ε}) \Rightarrow \forall x \in A, d (f_{p} (x), f_{q} (x)) < ε

Comme dans le cas des suites de Cauchy, il n'est pas nécessaire d'exhiber la fonction vers laquelle tend une suite de fonctions pour montrer que la convergence est uniforme.

Convergence uniforme de fonctions à valeurs dans un espace vectoriel normé

On suppose maintenant que $X$ est un espace métrique et que $(Y, ∣∣ \cdot ∣∣)$ est un espace vectoriel normé : c'est un espace métrique dont la topologie est issue de la distance $d$ telle que :

$\forall y \in Y, \forall y^{'} \in Y, d (y, y^{'}) = ∣∣ y - y^{'} ∣∣$ .

La convergence uniforme d'une suite de fonctions $(f_{n})_{n}$ sur une partie $A$ inclus dans $X$ s'écrit donc :

\forall ε > 0, \exists N_{ε} \in N, \forall n \in N, n \geq N_{ε} \Rightarrow \forall x \in A, ∣∣ f_{n} (x) - f (x) ∣∣ < ε

Ce qui est encore équivalent à :

\forall ε > 0, \exists N_{ε} \in N, \forall n \in N, n \geq N_{ε} \Rightarrow x \in A sup (∣∣ f_{n} (x) - f (x) ∣∣) < ε

Théorèmes

Contre-exemple : les fonctions continues en vert fn(x)=sinn(x) convergent vers la fonction discontinue en rouge mais la convergence n'est pas uniforme.

On a le résultat fondamental suivant:

Si $(f_{n})_{n}$ est une suite de fonctions continues convergeant uniformément sur $X$ vers une fonction $f$ alors $f$ est continue sur $X$ .

Preuve. Soit $ϵ > 0$ donné. Il existe un entier $N$ tel que, pour tout $x \in X$ , $d (f_{N} (x), f (x)) \leq ϵ$ . La fonction $f_{N}$ est continue en tout point $a \in X$ . Il existe ainsi un ouvert $U$ contenant $a$ tel que $d (f_{N} (x), f_{N} (a)) \leq ϵ$ pour tout $x \in U$ . Alors, si $x \in U$ ,

d (f (x), f (a)) \leq d (f (x), f_{N} (x)) + d (f_{N} (x), f_{N} (a)) + d (f_{N} (a), f (a)) \leq 3 ϵ

Quand $X$ n'est pas compact, la convergence uniforme est un phénomène rare. Par exemple, $(1 + \frac{z}{n})^{n}$ converge uniformément vers $e^{z}$ sur tout compact de $C$ quand l'entier $n$ tend vers l'infini, mais pas sur $C$ ; une série entière de rayon de convergence $R$ converge uniformément sur tout compact du disque ouvert de centre 0 et de rayon $R$ , mais on ne peut pas dire mieux en général.

En fait, la continuité étant une propriété locale, la convergence uniforme sur "suffisamment" de parties de $X$ suffit à assurer la continuité de la fonction limite.

Exemples

Lorsque $X$ est localement compact, ou lorsque sa topologie est définie par une métrique.

Dans ces conditions, si une suite $(f_{n})_{, n \geq 0}$ de fonctions continues converge uniformément sur tout compact vers une fonction $f$ , alors $f$ est continue.

On a la même conclusion lorsque $X$ est un espace de Banach, si la convergence uniforme a lieu

sur toute boule fermée de centre $0$ . C'est ainsi que l'on démontre par exemple la continuité de la fonction exponentielle dans une algèbre de Banach.

Le résultat suivant, moins fort que le théorème de convergence dominée, est aussi beaucoup moins difficile à montrer.

Si $X = [a, b]$ est un intervalle de $R$ , si $Y = R$ ou $Y = C$ , alors si une suite de fonctions $(f_{n})_{n}$ intégrables converge uniformément vers une fonction $f$ intégrable alors : $lim_{n \to + \infty} \int_{a}^{b} f_{n} (x) . d x = \int_{a}^{b} f (x) . d x$ .

Son utilisation est à la base du résultat suivant d'analyse complexe.

Soit $(f_{n})_{n \geq 0}$ une suite de fonctions holomorphes sur un ouvert de $U \subset C$ , convergeant uniformément sur tout compact de $U$ vers une fonction $f$ . Alors $f$ est holomorphe.

Notation

On introduit la notation suivante : $\forall A \subset X, \forall f : X \to Y, ∣∣ f ∣∣ \infty, A = sup x \in A (∣∣ f (x) ∣∣)$

Il s'ensuit directement qu'une suite de fonctions $(f_{n})_{n}$ converge uniformément vers une fonction $f$ si et seulement si :

n \to + \infty lim ∣∣ f_{n} - f ∣ ∣_{\infty, A} = 0

$△$ : $∣∣ \cdot ∣ ∣_{\infty, A}$ n'est en général pas une norme sur l'espace vectoriel des fonctions de $A$ à valeurs dans $Y$ .

Cas où X est compact

On suppose désormais que X est un espace métrique compact, $(Y, ∣∣ \cdot ∣∣)$ étant toujours un espace vectoriel normé. On note $C (X, Y)$ l'ensemble des fonctions continues définies sur $X$ et à valeurs dans $Y$ .

Alors : $(C (X, Y), ∣∣ \cdot ∣ ∣_{\infty, X})$ est un espace vectoriel normé. Si de plus, $Y$ est complet alors $C (X, Y)$ est lui aussi complet.

Espace des fonctions numériques continues sur [a,b]

On choisit dans cette section $X = [a, b]$ un intervalle compact de $R$ et $Y = R$ . Puisque $R$ muni de la valeur absolue est complet, il en résulte que l'espace vectoriel normé $C ([a, b], R)$ muni de la norme $∣∣ \cdot ∣ ∣_{\infty, [a, b]}$ est complet.

Théorème de Weierstrass

Le théorème de Weierstrass affirme qu'on peut approcher de manière uniforme n'importe quelle fonction numérique continue sur $[a, b]$ par une suite de fonctions très régulières à savoir par des polynômes. Plus précisement, si $f$ est une fonction continue sur $[a, b]$ alors:

$\forall ε > 0, \exists P_{ε} \in R [X], ∣∣ f - P_{ε} ∣ ∣_{\infty, [a, b]} \leq ε$ .

où $R [X]$ désigne l'ensemble des polynômes à coefficients réels.