Convergence uniforme
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La convergence uniforme d'une suite de fonctions (f_{n})_{n \in \mathbb{N}} est une forme de convergence plus exigeante que la convergence simple. Cette dernière demande en effet seulement que, pour chaque point (Graphie) x, la suite (f_{n}(x))_{n \in \mathbb{N}} ait une limite. La convergence (Le terme de convergence est utilisé dans de nombreux domaines :) devient uniforme quand toutes les suites (f_{n}(x))_{n \in \mathbb{N}} avancent vers leur limite respective avec une sorte de " mouvement d'ensemble ".

Dans le cas de fonctions numériques d'une variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un prédicat ou un algorithme. En statistiques, une variable peut aussi...), la notion prend une forme d'évidence géométrique : le graphe (Le mot graphe possède plusieurs significations. Il est notamment employé :) de la fonction fn se " rapproche " de celui de la limite.

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les...)

Convergence uniforme (La convergence uniforme d'une suite de fonctions est une forme de convergence plus exigeante que la convergence simple. Cette dernière demande en effet seulement...)

  • Soient X\,\! un espace topologique (En mathématiques, les espaces topologiques permettent de définir dans un contexte très général des concepts comme la convergence, la continuité et la connexité. Ces concepts...), (Y,d)\, un espace métrique (En mathématiques, un espace métrique est un ensemble au sein duquel une notion de distance entre les éléments de l'ensemble est définie. C'est un cas...) et A \subset X un sous-ensemble (En mathématiques, un ensemble A est un sous-ensemble ou une partie d’un ensemble B, ou encore B est sur-ensemble de A, si tout élément du sous-ensemble A est aussi élément du sur-ensemble B. Il peut par contre y avoir des...) de X \,.

Soit (f_{n})_{n} \,\! une suite de fonctions définies sur X\,\! et à valeurs dans Y\,\! et f\,\! une fonction définie sur X\,\! à valeurs dans Y\,\!. On dit que la suite (f_{n})_{n} \, converge uniformément vers f \, sur A \, si :

(1)\quad \forall \varepsilon > 0, \exists N_{\varepsilon} \in \N,\forall n \in \N, n \ge N_{\varepsilon} \Rightarrow \forall x \in A, d(f_{n}(x),f(x)) < \varepsilon

Remarque: la proposition (1) est équivalente à :

\forall \varepsilon > 0, \exists N_{\varepsilon} \in \N,\forall n \in \N, n \ge N_{\varepsilon} \Rightarrow \sup_{x \in A}( d(f_{n}(x),f(x)) < \varepsilon

Quelques explications

On peut se demander a posteriori quelle est la différence entre la convergence simple (La convergence simple ou ponctuelle est un critère de convergence dans un espace fonctionnel, c’est-à-dire dans un ensemble de fonctions. C'est un...) d'une suite de fonctions et la convergence uniforme. En effet, la suite de fonctions (f_{n})_{n} \, converge simplement vers f \, sur A \, si :

\forall x \in X,\forall \varepsilon > 0, \exists N_{\varepsilon,x} \in \N,\forall n \in \N, n \ge N_{\varepsilon,x} \Rightarrow d(f_{n}(x),f(x)) < \varepsilon

Ici, l'indice N_{\varepsilon,x}\, dépend de x \in A \, alors que dans la proposition (1)\,, l'indice N_{\varepsilon}\, n'en dépend pas. Cette différence peut paraître anodine aux non-initiés, mais elle est pourtant essentielle:

  • Dans le cas de la convergence simple, pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) élement x \in A \,, on peut trouver un rang ( Mathématiques En algèbre linéaire, le rang d'une famille de vecteurs est la dimension du sous-espace vectoriel engendré par cette famille. Le théorème du rang lie le rang et la dimension du noyau d'une...) à partir duquel la distance d(f_{n}(x),f(x))\, devient très petite. A priori, si on choisit un y \in A \, autre que x alors le rang à partir duquel la distance d(f_{n}(y),f(y))\, devienne très petite va être différent.
  • Dans le cas de la convergence uniforme, on peut trouver un rang à partir duquel la distance d(f_{n}(x),f(x)) \, devienne très petite pour n'importe quel x \in A \, à la fois. Cette condition est donc beaucoup plus forte. En particulier, une suite de fonctions qui converge uniformément sur un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une...) converge simplement sur celui-ci. La réciproque (La réciproque est une relation d'implication.) est en général fausse sauf dans des cas très particuliers ( voir Théorèmes de Dini (Il est tout le temps vrai qu'une suite de fonctions qui converge uniformément sur un ensemble converge aussi simplement. Malheureusement, la...) ).

Critère de Cauchy uniforme

Maintenant, on suppose en plus que l'espace métrique (Y,d)\, est un espace complet (En mathématiques, un espace métrique M est dit complet ou espace complet si toute suite de Cauchy de M a une limite dans M (c’est-à-dire qu'elle converge dans M). La propriété de complétude dépend de la distance. Il est...). C'est le cas de bon nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) d'espaces métriques, comme par exemple de (\R,| \cdot |)\, la droite réelle munie de sa valeur absolue (Un nombre réel est constitué de deux parties: un signe + ou - et une valeur absolue.) ou encore plus généralement de tout espace de Banach (Un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet pour la distance issue de sa norme. Comme la topologie déduite de sa distance est compatible avec sa...).

Sous ces conditions, on montre qu'une suite de fonctions (f_{n})_{n}\, converge uniformément sur A \, si et seulement si elle vérifie le critère de Cauchy uniforme, à savoir :

\forall \varepsilon  >0, \exists N_{\varepsilon } \in \N,\forall p \in \N, \forall q \in \N, (p,q \ge N_{\varepsilon }) \Rightarrow \forall x \in A, d(f_{p}(x),f_{q}(x)) < \varepsilon

Comme dans le cas des suites de Cauchy, il n'est pas nécessaire d'exhiber la fonction vers laquelle tend une suite de fonctions pour montrer que la convergence est uniforme.

Convergence uniforme de fonctions à valeurs dans un espace vectoriel normé (Un espace vectoriel normé est une des structures importantes rencontrées en analyse, et plus particulièrement en analyse fonctionnelle. Développée notamment par David Hilbert et Stefan Banach, cette notion se définit souvent sur le...)

On suppose maintenant que X\, est un espace métrique et que (Y,||\cdot||) est un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une introduction au concept de vecteur, voir l'article Vecteur.) normé : c'est un espace métrique dont la topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni recollement des...) est issue de la distance d\, telle que :

\forall y \in Y, \forall y' \in Y, d(y,y')=||y-y'||.

La convergence uniforme d'une suite de fonctions (f_{n})_{n}\, sur une partie A\, inclus dans X\, s'écrit donc :

\forall \varepsilon > 0, \exists N_{\varepsilon } \in \N,\forall n \in \N, n \ge N_{\varepsilon } \Rightarrow \forall x \in A, ||f_{n}(x)-f(x)|| < \varepsilon

Ce qui est encore équivalent à :

\forall \varepsilon  > 0, \exists N_{\varepsilon } \in \N,\forall n \in \N, n \ge N_{\varepsilon } \Rightarrow \sup_{x \in A}( ||f_{n}(x) -f(x)||) < \varepsilon

Théorèmes

Contre-exemple : les fonctions continues en vert fn(x)=sinn(x) convergent vers la fonction discontinue en rouge mais la convergence n'est pas uniforme.
Contre-exemple : les fonctions continues en vert (Le vert est une couleur complémentaire correspondant à la lumière qui a une longueur d'onde comprise entre 490 et 570 nm. L'œil humain possède un récepteur, appelé cône M, dont la bande passante est axée sur cette fréquence. Le terme...) fn(x)=sinn(x) convergent ( en astronautique, convergent en mathématiques, suite convergente série convergente ) vers la fonction discontinue en rouge (La couleur rouge répond à différentes définitions, selon le système chromatique dont on fait usage.) mais la convergence n'est pas uniforme.

On a le résultat fondamental suivant:

Si (f_{n})_{n}\, est une suite de fonctions continues convergeant uniformément sur X\, vers une fonction f\, alors f\, est continue sur X\,.

Preuve. Soit \epsilon >0\, donné. Il existe un entier N\, tel que, pour tout x\in X\,, d\big(f_N(x),f(x)\big)\le \epsilon. La fonction f_N\, est continue en tout point a\in X\,. Il existe ainsi un ouvert U\, contenant a\, tel que d\big(f_N(x),f_N(a)\big)\le \epsilon pour tout x\in U\,. Alors, si x\in U\,,

d\big(f(x),f(a)\big)\le d\big(f(x),f_N(x)\big)+d\big(f_N(x),f_N(a)\big)+ d\big(f_N(a),f(a)\big)\le 3\epsilon

Quand X\, n'est pas compact, la convergence uniforme est un phénomène rare. Par exemple, (1+\frac{z}{n})^{n} converge uniformément vers e^z\, sur tout compact de \mathbb{C}\, quand l'entier n\, tend vers l'infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui...), mais pas sur \mathbb{C}\,  ; une série entière de rayon de convergence R\, converge uniformément sur tout compact du disque (Le mot disque est employé, aussi bien en géométrie que dans la vie courante, pour désigner une forme ronde et régulière, à l'image d'un palet —...) ouvert de centre 0 et de rayon R\,, mais on ne peut pas dire mieux en général.

En fait, la continuité (En mathématiques, la continuité est une propriété topologique d'une fonction. En première approche, une fonction est continue si, à des variations infinitésimales de la variable x, correspondent des...) étant une propriété locale (On dit d'une certaine propriété mathématique qu'elle est localement vérifiée en un point d'un espace topologique s'il existe un voisinage de ce point sur lequel la propriété est vraie.), la convergence uniforme sur "suffisamment" de parties de X\, suffit à assurer la continuité de la fonction limite.

Exemples

  • Lorsque X\, est localement compact, ou lorsque sa topologie est définie par une métrique.

Dans ces conditions, si une suite (f_n)_{,n\ge 0} de fonctions continues converge uniformément sur tout compact vers une fonction f\,, alors f\, est continue.

  • On a la même conclusion lorsque X\, est un espace de Banach, si la convergence uniforme a lieu

sur toute boule fermée de centre 0\, . C'est ainsi que l'on démontre par exemple la continuité de la fonction exponentielle (La fonction exponentielle est l'une des applications les plus importantes en analyse, ou plus généralement en mathématiques et dans ses domaines d'applications. Il...) dans une algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon générale, les structures algébriques.) de Banach.

Le résultat suivant, moins fort que le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique...) de convergence dominée, est aussi beaucoup moins difficile à montrer.

Si X=[a,b]\, est un intervalle de \R, si Y=\R ou Y=\mathbb{C}, alors si une suite de fonctions (f_{n})_{n}\, intégrables converge uniformément vers une fonction f\, intégrable alors : \lim_{n \rightarrow + \infty} \int_{a}^{b}f_{n}(x).dx = \int_{a}^{b}f(x).dx.

Son utilisation est à la base du résultat suivant d'analyse complexe.

Soit (f_n)_{n\ge 0}\, une suite de fonctions holomorphes sur un ouvert de U\subset\mathbb{C}\,, convergeant uniformément sur tout compact de U\, vers une fonction f\,. Alors f\, est holomorphe.

Notation

On introduit la notation suivante : \forall A \subset X, \forall f: X \rightarrow Y, ||f||_{\infty,A}= \sup_{x \in A} ( ||f(x)|| )

Il s'ensuit directement qu'une suite de fonctions (f_{n})_{n}\, converge uniformément vers une fonction f\, si et seulement si :

\lim_{n \rightarrow + \infty} ||f_{n}-f||_{\infty,A}=0

\triangle: ||\cdot||_{\infty,A} n'est en général pas une norme (Une norme, du latin norma (« équerre, règle ») désigne un état habituellement répandu ou moyen considéré le plus souvent comme une règle à suivre. Ce...) sur l'espace vectoriel des fonctions de A\, à valeurs dans Y\,.

Cas où X est compact

On suppose désormais que X est un espace métrique compact, (Y,||\cdot||) étant toujours un espace vectoriel normé. On note \mathcal{C}(X,Y) l'ensemble des fonctions continues définies sur X\, et à valeurs dans Y\,.

Alors : (\mathcal{C}(X,Y),||\cdot||_{\infty,X}) est un espace vectoriel normé. Si de plus, Y\, est complet alors \mathcal{C}(X,Y) est lui aussi complet.

Espace des fonctions numériques continues sur [a,b]

On choisit dans cette section X=[a,b]\, un intervalle compact de \R et Y=\R. Puisque \R muni de la valeur absolue (L'absolue est un extrait obtenu à partir d’une concrète ou d’un résinoïde par extraction à l’éthanol à température ambiante ou plus...) est complet, il en résulte que l'espace vectoriel normé \mathcal{C}([a,b],\R) muni de la norme ||\cdot||_{\infty,[a,b]} est complet.

Théorème de Weierstrass

Le théorème de Weierstrass affirme qu'on peut approcher de manière uniforme n'importe quelle fonction numérique (Lorsque nous exprimons qu’une quantité dépend d’une autre quantité nous supposons qu’il existe un moyen d’obtenir cette quantité à partir d’une autre. Et si ces quantités...) continue sur [a,b]\, par une suite de fonctions très régulières à savoir par des polynômes. Plus précisement, si f\, est une fonction continue sur [a,b]\, alors:

\forall \varepsilon>0, \exists P_{\varepsilon} \in \R[X], ||f-P_{\varepsilon}||_{\infty,[a,b]}\leq \varepsilon.

\R[X] désigne l'ensemble des polynômes à coefficients réels.

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