Convergence simple
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La convergence simple ou ponctuelle est un critère de convergence dans un espace fonctionnel, c’est-à-dire dans un ensemble de fonctions. C'est un critère peu exigeant, en conséquence, en cas de convergence la convergence simple est souvent vérifiée. En revanche, le passage à la limite offre beaucoup moins de propriétés qu'une convergence (Le terme de convergence est utilisé dans de nombreux domaines :) plus forte comme la convergence uniforme (La convergence uniforme d'une suite de fonctions est une forme de convergence plus exigeante que la convergence simple. Cette dernière demande en...).

Contre-exemple : les fonctions continues en vert fn(x)=sinn(x) convergent simplement vers la fonction discontinue en rouge.
Contre-exemple : les fonctions continues en vert (Le vert est une couleur complémentaire correspondant à la lumière qui a une longueur d'onde comprise entre 490 et 570 nm. L'œil humain possède...) fn(x)=sinn(x) convergent ( en astronautique, convergent en mathématiques, suite convergente série convergente ) simplement vers la fonction discontinue en rouge (La couleur rouge répond à différentes définitions, selon le système chromatique dont on fait usage.).

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.)

Convergence simple (La convergence simple ou ponctuelle est un critère de convergence dans un espace fonctionnel, c’est-à-dire dans un ensemble de fonctions. C'est un critère peu exigeant, en...)

  • Soient X\,\! un espace topologique (En mathématiques, les espaces topologiques permettent de définir dans un contexte très général des concepts comme la convergence, la continuité et la connexité. Ces...) et Y\,\! un espace topologique séparé.

Soit (f_{n})_{n} \,\! une suite de fonctions définies sur X\,\! à valeurs dans Y\,\!. Enfin, soit A \subset X une partie de X \,\!. On dit que la suite de fonctions (f_{n})_{n}\,\! converge simplement sur A\,\! si :

\forall x \in A, la suite (f_{n}(x))_{n}\,\! converge dans Y\,\!
  • Si on note f(x)=\lim_{n \rightarrow + \infty}f_{n}(x) on dit alors que la suite de fonctions (f_{n})_{n}\,\! converge simplement sur A\, vers la fonction f\,.

Remarque

Dans cette définition, on a supposé l'espace topologique Y\, séparé. On peut justifier un tel choix par le fait que dans un espace séparé, si une suite d'éléments de cet espace converge alors nécessairement sa limite est unique (ce qui n'est pas le cas dans un espace topologique non-séparé).

L'unicité de la limite est donc une condition indispensable pour pouvoir définir la convergence simple d'une suite de fonctions vers une fonction.

Topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni...) faible

Définition

Il existe une topologie associée à la convergence simple, on l'appelle en général topologie faible. Cette topologie est souvent définie à l'aide d'une base de voisinages. On la définit de la manière suivante:

Soit f\; une fonction de X\,\! dans Y\,\! deux espaces topologiques tel que Y\,\! soit séparé. Soit x\,\! un élément de X\,\! tel que f\; soit définie en x\,\!. On considère alors \mathcal V(f(x)) une base de voisinage (La notion de voisinage correspond à une approche axiomatique équivalente à celle de la topologie. La topologie traite plus naturellement les notions globales...) de f(x)\,\! pour la topologie de Y\,\!. À chaque élément V_{f(x)}\; de \mathcal V(f(x)) on associe le sous ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme...) W_{(f,x)}\; des fonctions \phi \; de X\,\! dans Y\,\! définies en x\,\! et tel que \phi (x) \; soit élément de V_{f(x)}\;. L'union de tous les ensembles de type W_{(f,x)}\; quand f\; parcourt l'ensemble des fonctions et x\,\! parcourt le domaine de définition de f\; forment une base de voisinage. La topologie associée est appelée la topologie faible.

Remarques

Il est relativement simple de démontrer que la convergence simple d'une suite de fonctions (f_n)_n\; est équivalent à la convergence pour la topologie faible de la suite.

Si X\,\! n'est pas un ensemble fini (En mathématiques, un ensemble E est dit fini si et seulement si E est vide ou s'il existe un entier n et une bijection de E dans l'ensemble des n premiers entiers naturels.), alors il n'existe pas de distance associée à cette topologie. Nous savons en effet que tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) espace métrique (En mathématiques, un espace métrique est un ensemble au sein duquel une notion de distance entre les éléments de l'ensemble est définie. C'est un cas particulier d'espace topologique.) est muni d'une topologie déduite. Cette topologie ne peut jamais être la topologie faible.

Propriétés

La topologie faible est un critère de convergence peu contraignant comme son nom l'indique. Il existe donc moins de propriétés que dans le cas de la convergence uniforme par exemple.

  • La convergence uniforme implique la convergence simple. La démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir de...) découle directement des définitions. En revanche la réciproque (La réciproque est une relation d'implication.) est fausse comme le montre le contre-exemple (En mathématiques, un contre-exemple est un exemple, un cas particulier ou un résultat général, qui contredit les premières impressions. Un contre-exemple peut aussi être donné pour rejeter...) illustré graphiquement en début d'article.
  • La convergence simple ne conserve pas la continuité (En mathématiques, la continuité est une propriété topologique d'une fonction. En première approche, une fonction est continue si, à des variations...), comme le montre le contre-exemple illustré graphiquement en début d'article.
  • Dans le cas où l'ensemble de départ est un espace mesurable (On appelle espace mesurable le couple (X,Ω).) et où l'ensemble d'arrivée est le corps des réels alors la convergence simple peut indiquer la convergence pour la norme (Une norme, du latin norma (« équerre, règle ») désigne un état habituellement répandu ou moyen considéré le plus souvent comme une règle à suivre. Ce terme...) L1 avec l'ajout de certaines hypothèses décrites dans les articles Théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir...) de convergence monotone et Théorème de convergence dominée.
  • Le résultat précédent est vrai uniquement dans le cadre de l'intégrale de Lebesgue (En mathématiques dans la branche de l'analyse réelle, l'intégrale de Lebesgue est une intégrale représentative d'une théorie qui étend la notion d'intégrale représentant l'aire du domaine sous la courbe d'une fonction pas...) et non dans celui de Riemann.

Convergence simple dans un espace métrique

On suppose maintenant que Y\, est un espace métrique, c'est-à-dire que Y\, est muni d'une distance d \, et de la topologie qui lui est associée. On sait d'abord qu'un espace métrique est toujours séparé. On peut alors traduire la notion de convergence simple en termes de " epsilon ":

Une suite de fonctions (f_{n})_{n}\, converge simplement sur A\, vers une fonction f\, si et seulement si :

\forall x \in A,\forall \epsilon >0, \exists N_{\epsilon,x}, \forall n \in \N, n \ge N_{\epsilon,x} \Rightarrow d(f_{n}(x),f(x))<\epsilon
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