Courbe cycloïdale
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Une courbe cycloïdale est une courbe plane transcendante, trajectoire d'un point fixé à un cercle qui roule sans glisser sur une courbe dite directrice. Il s'agit donc d'un cas particulier de roulette.

Classification

Les différents cas particuliers de courbes cycloïdales sont liés à la forme de la directrice. Ainsi, on utilise les termes suivants :

  1. Lorsque la directrice est un cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du...), on parle de cycloïde à centre
    • Lorsque le cercle roulant est à l'extérieur du cercle directeur, c'est une épicycloïde (Une épicycloïde est une courbe plane transcendante, trajectoire d'un point fixé à un cercle qui roule sans glisser sur un autre cercle dit directeur,...) (dont la cardioïde (La cardioïde est une courbe algébrique plane, trajectoire d'un point fixé à un cercle qui roule sans glisser sur un second cercle de même diamètre. Il s'agit donc d'une courbe cycloïdale dont la...) et la néphroïde sont des cas particuliers)
    • Lorsque le cercle roulant est à l'intérieur du cercle directeur, c'est une hypocycloïde (Une hypocycloïde est une courbe plane transcendante, trajectoire d'un point fixé à un cercle qui roule sans glisser sur un autre cercle dit directeur et à l'intérieur de celui-ci. Il s'agit donc d'un...) (dont la droite de La Hire, la deltoïde et l'astroïde (Une astroïde est une courbe plane, qui peut se définir de plusieurs façons. En particulier, il est possible de l'obtenir en faisant rouler un cercle de rayon ¼ à l'intérieur d'un cercle de rayon 1. Pour cette...) sont des cas particuliers)
  2. Lorsque la directrice est une droite, on parle de cycloïde droite ou tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) simplement de cycloïde

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) mathématique

Une courbe cycloïdale (Une courbe cycloïdale est une courbe plane transcendante, trajectoire d'un point fixé à un cercle qui roule sans glisser sur une courbe dite directrice. Il s'agit donc d'un cas particulier de roulette.) peut être définie par deux équations intrinsèques:


\left[ 1 \right] \quad R_c^2+ \omega ^2 s^2= \omega ^2 A^2
\left[ 2 \right] \quad s=A sin( \omega \phi )\,

R_c\, représente le rayon de courbure (Intuitivement, courbe s'oppose à droit : la courbure d'un objet géométrique est une mesure quantitative du caractère « plus ou moins courbé » de cet objet. Par exemple :) et s\, l'abscisse curviligne On retrouve alors les cas particuliers évoqués ci-dessus :

  • \omega  = 1\, : cycloïde (A = 4 fois le rayon du cercle roulant)
  • 0 < \omega < 1\, : épicycloïde (\omega = \frac{a}{a+2b}, A = \frac{4b(a+b)}{a}\, où a est le rayon du cercle de base, b celui du cercle roulant)
  • \omega > 1\, : hypocycloïde (\omega = \frac{a}{a-2b}, A = \frac{4b(a-b)}{a}\, où a est le rayon du cercle de base, b celui du cercle roulant).
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