Cardioïde - Définition et Explications

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Construction de la cardioïde
Construction de la cardioïde

La cardioïde est une courbe algébrique plane, trajectoire d'un point fixé à un cercle qui roule sans glisser sur un second cercle de même diamètre. Il s'agit donc d'une courbe cycloïdale (Une courbe cycloïdale est une courbe plane transcendante, trajectoire d'un point fixé à un...) dont la directrice est un cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale...) (ou épicycloïde).

Étymologie et histoire

Son nom vient du grec kardia (cœur), en référence à sa forme, et lui fut donné par Johan Castillon.

La première évocation de la cardioïde (La cardioïde est une courbe algébrique plane, trajectoire d'un point fixé à un cercle qui roule...) remonte à 1674 : Rømer l'étudia au cours de ses recherches sur la forme la plus adaptée aux dents des engrenages. En 1708, La Hire détermina son périmètre (Le périmètre d'une figure plane est la longueur du bord de cette figure. Le calcul du...) (8 fois le diamètre (Dans un cercle ou une sphère, le diamètre est un segment de droite passant par le centre...) du cercle directeur). Castillon la décrit plus en détail et la baptisa dans un document (Dans son acception courante un document est généralement défini comme le support physique d'une...) qu'il publia en 1741. Néanmoins, comme il s'agit d'un cas particulier de limaçon (Initialement, « limaçon » est un diminutif de « limace ». Tout d'abord, de...) de Pascal (courbe étudiée par Étienne Pascal, le père de Blaise), on peut dire que son histoire commence bien avant les travaux de La Hire et Castillon.

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...) mathématique

La courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du...) peut être définie par l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement...) cartésienne suivante :

(x^2+y^2-ax)^2=a^2(x^2+y^2)\,

On peut également la définir par une équation polaire:

\rho ( \theta ) =a(1+cos\  \theta )\,

.. ou par une équation paramétrique :

\left\{\begin{matrix} x(\theta) = a \cos \theta (1 + \cos \theta ) \\ y(\theta) = a \sin \theta (1 + \cos \theta)\end{matrix}\right.

Propriétés et applications

Géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace...)

La cardioïde est :

  • une conchoïde de cercle relativement à un point (Graphie) situé sur le cercle, avec une raison égale au diamètre du cercle. Il s'agit donc d'un cas particulier de limaçon de Pascal
  • une podaire (La podaire d'une courbe C par rapport à un point P est le lieu géométrique des projections...) de cercle par rapport à l'un de ses points
  • une inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de...) de parabole (La parabole est l'intersection d'un plan avec un cône lorsque le plan est parallèle à l'une des...) par rapport à son foyer

Le périmètre d'une cardoïde formée à partir d'un cercle de diamètre a\, vaut 8a\, ; son aire vaut \frac{3}{2} \pi a^2.

Comme pour toute courbe cycloïdale, la développée (En géométrie, la développée d'une courbe plane est le lieu de ses centres de...) de la cardioïde est une cardioïde homothétique.

Optique (L'optique est la branche de la physique qui traite de la lumière, du rayonnement...)

La cardioïde est une caustique (Une caustique désigne en optique et en mathématiques l'enveloppe des rayons lumineux...) de cercle par réflexion avec source lumineuse sur le cercle. Cette propriété explique que la forme dessinée au fond d'un récipient transparent par la réflexion des rayons lumineux provenant d'une source ponctuelle proche du bord du récipient soit une cardioïde.

Attention, lorsque le récipient est opaque et que ce sont les rayons parallèles du soleil (Le Soleil (Sol en latin, Helios ou Ήλιος en grec) est l'étoile...) qui se reflètent à l'intérieur, on distingue une forme comparable mais il s'agit alors d'une autre épicycloïde (Une épicycloïde est une courbe plane transcendante, trajectoire d'un point fixé à un cercle qui...), la néphroïde.
D'ailleurs, la caustique par réflexion de la cardioïde, avec la source lumineuse au point de rebroussement de la cardioïde, est une néphroïde.

Acoustique (L’acoustique est une branche de la physique dont l’objet est l’étude des...)

On dit d'un microphone (Un microphone (ou plus simplement micro par apocope) est un dispositif de conversion des ondes...) qu'il est cardioïde lorsque sa sensibilité varie en fonction de la position de la source par rapport à l'axe du micro en dessinant une courbe cardioïde. En fait ce terme est synonyme de microphone unidirectionnel. les microphones cardioïdes favorisent la présence de la source sonore frontale et atténuent fortement les sons latéraux et arrières. Le microphone cardioïde est particulièrement adapté à l'enregistrement de la voix et des instruments de musique. Le contraire d'un microphone cardoïde est un microphone omnidirectionnel. Quand le microphone atténue fortement tous les sons qui ne sont pas exactement dans l'axe, on le dit hypercardioïde.

Divers

On trouve une cardioïde au centre d'une fractale (On nomme figure fractale ou "fractale" par substantivation de l'adjectif (ou encore en anglais...) très connue, l'ensemble de Mandelbrot (L'ensemble de Mandelbrot est une fractale qui est définie comme l'ensemble des points c du...).

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