Cardioïde
Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
La liste des auteurs de cet article est disponible ici.
Construction de la cardioïde
Construction de la cardioïde

La cardioïde est une courbe algébrique plane, trajectoire d'un point fixé à un cercle qui roule sans glisser sur un second cercle de même diamètre. Il s'agit donc d'une courbe cycloïdale (Une courbe cycloïdale est une courbe plane transcendante, trajectoire d'un point fixé à un cercle qui roule sans glisser sur une courbe dite directrice. Il s'agit donc d'un cas particulier de...) dont la directrice est un cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est...) (ou épicycloïde).

Étymologie et histoire

Son nom vient du grec kardia (cœur), en référence à sa forme, et lui fut donné par Johan Castillon.

La première évocation de la cardioïde (La cardioïde est une courbe algébrique plane, trajectoire d'un point fixé à un cercle qui roule sans glisser sur un second cercle de même diamètre. Il s'agit donc...) remonte à 1674 : Rømer l'étudia au cours de ses recherches sur la forme la plus adaptée aux dents des engrenages. En 1708, La Hire détermina son périmètre (Le périmètre d'une figure plane est la longueur du bord de cette figure. Le calcul du périmètre sert par exemple à déterminer la...) (8 fois le diamètre (Dans un cercle ou une sphère, le diamètre est un segment de droite passant par le centre et limité par les points du cercle ou de la sphère. Le diamètre est aussi la longueur de ce segment. Pour indiquer...) du cercle directeur). Castillon la décrit plus en détail et la baptisa dans un document (Dans son acception courante un document est généralement défini comme le support physique d'une information.) qu'il publia en 1741. Néanmoins, comme il s'agit d'un cas particulier de limaçon (Initialement, « limaçon » est un diminutif de « limace ». Tout d'abord, de manière naturelle, ce mot est parfois utilisé pour désigner de petites limaces. Il serait...) de Pascal (courbe étudiée par Étienne Pascal, le père de Blaise), on peut dire que son histoire commence bien avant les travaux de La Hire et Castillon.

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) mathématique

La courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les...) peut être définie par l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre...) cartésienne suivante :

(x^2+y^2-ax)^2=a^2(x^2+y^2)\,

On peut également la définir par une équation polaire:

\rho ( \theta ) =a(1+cos\  \theta )\,

.. ou par une équation paramétrique :

\left\{\begin{matrix} x(\theta) = a \cos \theta (1 + \cos \theta ) \\ y(\theta) = a \sin \theta (1 + \cos \theta)\end{matrix}\right.

Propriétés et applications

Géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, les...)

La cardioïde est :

  • une conchoïde de cercle relativement à un point (Graphie) situé sur le cercle, avec une raison égale au diamètre du cercle. Il s'agit donc d'un cas particulier de limaçon de Pascal
  • une podaire (La podaire d'une courbe C par rapport à un point P est le lieu géométrique des projections orthogonales de P sur les tangentes à la courbe C.) de cercle par rapport à l'un de ses points
  • une inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un élément y tel que x·y = y·x = 1, si 1...) de parabole (La parabole est l'intersection d'un plan avec un cône lorsque le plan est parallèle à l'une des génératrices du cône. Elle est un type de courbe dont...) par rapport à son foyer

Le périmètre d'une cardoïde formée à partir d'un cercle de diamètre a\, vaut 8a\, ; son aire vaut \frac{3}{2} \pi a^2.

Comme pour toute courbe cycloïdale, la développée (En géométrie, la développée d'une courbe plane est le lieu de ses centres de courbure. On peut aussi la décrire comme l'enveloppe de la famille des droites normales à la courbe.) de la cardioïde est une cardioïde homothétique.

Optique (L'optique est la branche de la physique qui traite de la lumière, du rayonnement électromagnétique et de ses relations avec la vision.)

La cardioïde est une caustique (Une caustique désigne en optique et en mathématiques l'enveloppe des rayons lumineux subissant une réflexion ou une réfraction sur une surface ou une courbe.) de cercle par réflexion avec source lumineuse sur le cercle. Cette propriété explique que la forme dessinée au fond d'un récipient transparent par la réflexion des rayons lumineux provenant d'une source ponctuelle proche du bord du récipient soit une cardioïde.

Attention, lorsque le récipient est opaque et que ce sont les rayons parallèles du soleil (Le Soleil (Sol en latin, Helios ou Ήλιος en grec) est l'étoile centrale du système solaire. Dans la classification astronomique, c'est une étoile de type...) qui se reflètent à l'intérieur, on distingue une forme comparable mais il s'agit alors d'une autre épicycloïde (Une épicycloïde est une courbe plane transcendante, trajectoire d'un point fixé à un cercle qui roule sans glisser sur un autre cercle dit directeur, les disques ouverts ayant ces deux cercles pour frontière étant...), la néphroïde.
D'ailleurs, la caustique par réflexion de la cardioïde, avec la source lumineuse au point de rebroussement de la cardioïde, est une néphroïde.

Acoustique (L’acoustique est une branche de la physique dont l’objet est l’étude des sons et des ondes mécaniques. Elle fait appel aux phénomènes...)

On dit d'un microphone (Un microphone (ou plus simplement « micro ») est un dispositif de conversion des ondes sonores acoustiques d'un milieu compressible en impulsions électriques. C'est donc un capteur analogique.) qu'il est cardioïde lorsque sa sensibilité varie en fonction de la position de la source par rapport à l'axe du micro en dessinant une courbe cardioïde. En fait ce terme est synonyme de microphone unidirectionnel. les microphones cardioïdes favorisent la présence de la source sonore frontale et atténuent fortement les sons latéraux et arrières. Le microphone cardioïde est particulièrement adapté à l'enregistrement de la voix et des instruments de musique. Le contraire d'un microphone cardoïde est un microphone omnidirectionnel. Quand le microphone atténue fortement tous les sons qui ne sont pas exactement dans l'axe, on le dit hypercardioïde.

Divers

On trouve une cardioïde au centre d'une fractale (On nomme fractale ou fractal (nom masculin moins usité), une courbe ou surface de forme irrégulière ou morcelée qui se crée en suivant des règles déterministes ou stochastiques. Le terme...) très connue, l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un...) de Mandelbrot.

Page générée en 0.107 seconde(s) - site hébergé chez Amen
Ce site fait l'objet d'une déclaration à la CNIL sous le numéro de dossier 1037632
Ce site est édité par Techno-Science.net - A propos - Informations légales
Partenaire: HD-Numérique