Astroïde
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Une astroïde
Une astroïde

Une astroïde est une courbe plane, qui peut se définir de plusieurs façons. En particulier, il est possible de l'obtenir en faisant rouler un cercle de rayon ¼ à l'intérieur d'un cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de...) de rayon 1. Pour cette raison, l'astroïde (Une astroïde est une courbe plane, qui peut se définir de plusieurs façons. En particulier, il est possible de l'obtenir en faisant rouler un cercle de rayon ¼ à l'intérieur...) est une hypocycloïde (Une hypocycloïde est une courbe plane transcendante, trajectoire d'un point fixé à un cercle qui roule sans glisser sur un autre cercle dit directeur et à l'intérieur de...) de cercle à quatre points de rebroussement.

Une astroïde peut être définie par l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons...) paramétrique suivante :

\begin{cases}x(t) = \cos^3(t) \\ y(t) = \sin^3(t)\end{cases}

Sur la figure ci-contre a été tracé en vert (Le vert est une couleur complémentaire correspondant à la lumière qui a une longueur d'onde comprise entre 490 et 570 nm. L'œil humain possède un récepteur, appelé cône...) un segment de longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle...) 1 reliant un point (Graphie) de l'axe des abscisses à un point de l'axe des ordonnées. Il est tangent à l'astroïde. Pour cette raison, l'astroïde peut être vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.) comme la courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et les cercles sont des courbes.) enveloppe de la famille des segments vérifiant ces propriétés. Pour décrire cette famille par une image, on évoque souvent une échelle glissant le long d'un mur (Un mur est une structure solide qui sépare ou délimite deux espaces.).

L'astroïde admet pour équation cartésienne

(x2 + y2 − 1)3 + 27x2y2 = 0.

C'est une courbe algébrique (Une courbe algébrique est une courbe, le plus souvent plane, dont l’équation cartésienne peut se mettre sous forme polynômiale. Une courbe non algébrique est dite...) de degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :) égal à six et de genre zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr, d’abord transcrit zefiro en italien) est un symbole marquant une position vide dans l’écriture des nombres en notation...) (une sextique rationnelle).


Exemples de courbes
Coniques dont Cercle - Ellipse- Parabole (La parabole est l'intersection d'un plan avec un cône lorsque le plan est parallèle à l'une des génératrices du cône. Elle est un type de courbe dont les nombreuses propriétés géométriques ont intéressé les mathématiciens dès...) - Hyperbole
Cardioïde (La cardioïde est une courbe algébrique plane, trajectoire d'un point fixé à un cercle qui roule sans glisser sur un second cercle de même diamètre. Il...) - Cissoïde (La cissoïde ou (courbe) cissoïdale de deux courbes (C1) et (C2) par rapport à un point fixe O est le lieu géométrique des points P tels que où P1 est un point de (C1) et P2 un point de (C2), P1 et P2 étant alignés avec O.) - Clothoïde (La clothoïde est une courbe transcendante plane dont la courbure est proportionnelle à l'abscisse curviligne.) - Cycloïde (La cycloïde droite, aussi appelée roue d'Aristote ou roulette de Pascal, est une courbe plane transcendante, trajectoire d'un point fixé à un cercle qui roule sans glisser sur une droite. Il s'agit donc d'une courbe...) - Épicycloïde (Une épicycloïde est une courbe plane transcendante, trajectoire d'un point fixé à un cercle qui roule sans glisser sur un autre cercle dit directeur, les disques ouverts ayant ces deux cercles pour frontière étant disjoints. Il s'agit donc...) - Hypocycloïde (Astroïde, Deltoïde)

- Hypotrochoïde - Spirale (En mathématiques, une spirale est une courbe qui commence en un point central puis s'en éloigne de plus en plus, en même temps qu'elle tourne autour.) (dont Spirale logarithmique (La spirale logarithmique est la courbe d'équation polaire suivante :), Spirale d'Archimède) - Hélice (Hélice est issu d'un mot grec helix signifiant « spirale ». Un objet en forme d'hélice est dit hélicoïdal.)

Lemniscate (Une lemniscate est une courbe plane ayant la forme d'un 8. Elle possède deux axes de symétrie perpendiculaires. Ceux-ci se coupent en un point double de la courbe,...) (dont Lemniscate de Gerono, Lemniscate de Booth, Lemniscate logarithmique, Courbe du diable)
Trajectoire (La trajectoire est la ligne décrite par n'importe quel point d'un objet en mouvement, et notamment par son centre de gravité.) - Ovale de Cassini (En mathématiques, un ovale de Cassini est un ensemble de points du plan tel que le produit des distances de chaque point p de l'ovale à deux autres points fixés q1 et q2 est constant,...) - Chaînette (En mathématiques, la chaînette est une courbe plane transcendante, qui correspond à la forme que prend un câble (ou une chaîne) lorsqu'il est suspendu par ses extrémités et soumis à une force gravitationnelle uniforme (son propre...) - Courbe brachistochrone (Le mot brachistochrone désigne une courbe plane sur laquelle un point matériel pesant placé dans un champ de pesanteur uniforme, glissant sans frottement et sans vitesse initiale, présente un temps de...)
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