Épicycloïde
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Une épicycloïde est une courbe plane transcendante, trajectoire d'un point fixé à un cercle qui roule sans glisser sur un autre cercle dit directeur, les disques ouverts ayant ces deux cercles pour frontière (Une frontière est une ligne imaginaire séparant deux territoires, en particulier deux États souverains. Le rôle que joue une frontière peut fortement varier suivant les régions...) étant disjoints. Il s'agit donc d'un cas particulier de cycloïde à centre, qui est une catégorie de courbe cycloïdale (Une courbe cycloïdale est une courbe plane transcendante, trajectoire d'un point fixé à un cercle qui roule sans glisser sur une courbe dite directrice. Il s'agit donc d'un cas particulier...).

Étymologie et histoire

Le mot est une extension de cycloïde, inventé en 1599 par Galilée (Galilée ou Galileo Galilei (né à Pise le 15 février 1564 et mort à Arcetri près de Florence, le 8 janvier 1642) est un physicien et astronome italien du XVIIe siècle, célèbre pour avoir jeté les...), et a la même étymologie : il vient du grec epi (sur), kuklos (cercle, roue) et eidos (forme, " semblable à ").

La courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes...) apparaît pour la première fois durant l'Antiquité : Aristote (Aristote (en grec ancien Ἀριστοτέλης / Aristotélês) est un philosophe grec né à Stagire (actuelle Stavros) en Macédoine...) puis Ptolémée l'utilisent pour décrire le mouvement des planètes dans leur modèle géocentrique, et pour résoudre les problèmes liés aux rebroussements qui apparaîssent dans leur trajectoire (La trajectoire est la ligne décrite par n'importe quel point d'un objet en mouvement, et notamment par son centre de gravité.) céleste, que l'on appelle rétrogradation (La rétrogradation ou mouvement rétrograde est un mouvement qui s'effectue dans le sens inverse du mouvement naturel lors de l'observation du mouvement apparent des planètes.). Cependant, la courbe en elle-même n'est pas évoquée ; elle est seulement une conséquence du mouvement suivant une épicycle (L’épicycle est un composant essentiel du système astronomique de Ptolémée (IIe siècle) (système géocentrique qui sera utilisé jusqu'à Copernic...) tournant autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne à 31 espèces d'oiseaux qui, soit appartiennent au genre Accipiter,...) d'un déférant.

Au cours de ses travaux sur les profils des dents engrenages, Rømer redécouvre l'épicycloïde (Une épicycloïde est une courbe plane transcendante, trajectoire d'un point fixé à un cercle qui roule sans glisser sur un autre cercle dit directeur, les disques ouverts ayant ces deux cercles pour frontière étant...) et la baptise en 1674. Il prouve alors qu'en dessinant les dents d'un engrenage avec des segments d'épicycloïde, deux roues (La roue est un organe ou pièce mécanique de forme circulaire tournant autour d'un axe passant par son centre.) d'engrenages tournent avec une friction minimale. Ces résultats sont confirmés par la suite par Girard Desargues, Philippe de La Hire (Philippe de La Hire est un mathématicien, physicien et astronome français, né le 18 mars 1640 à Paris et mort le 21 avril 1718 dans cette même ville.) et Charles Stephen. Le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un théorème est à...) de la double génération de la courbe, quant à lui, est démontré pour la première fois par Daniel Bernoulli en 1725.

Parmi les autres mathématiciens qui se sont intéressés à cette courbe, citons Durer, Huygens, Leibniz, L'Hôpital (Un hôpital est un lieu destiné à prendre en charge des personnes atteintes de pathologies et des traumatismes trop complexes pour pouvoir être traités...), Jacques Bernoulli, Euler, Edmond Halley et Isaac Newton (Sir Isaac Newton était un philosophe, mathématicien, physicien et astronome anglais né le 4 janvier 1643 du calendrier grégorien[1] au manoir de Woolsthorpe près de Grantham et mort le 31...), ce dernier ayant traité de la mesure de la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en...) de l'épicycloïde dans son Philosophiae Naturalis Principia Mathematica.

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) mathématique

Une épicycloïde peut être définie par l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de donner...) paramétrique suivante :

x(\theta) = (R+r) \cos \theta - r \cos (\frac{R+r}{r} \theta) \,
y(\theta) = (R+r) \sin \theta - r \sin (\frac{R+r}{r} \theta) \,

R\, est le rayon du cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du cercle....) de base et r\, celui du cercle roulant. Avec q={R \over r}, cette équation peut donc également s'écrire :

x(\theta) = r   \left[(q+1) \cos \theta - \cos (q+1) \theta     \right] \,
y(\theta) = r  \left[(q+1) \sin \theta - \sin (q+1) \theta \right]\,

Propriétés

La courbe est formée d'arcs isométriques (appelés arches) séparés par des points de rebroussements. Si q est rationnel (et peut donc s'écrire q=a/b où a et b sont des entiers), a représente le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) d'arches de la courbe. On peut aussi voir ces deux grandeurs de la manière suivante :

  • a représente le nombre de rotations du cercle roulant nécessaires pour ramener le point (Graphie) mobile à sa position de départ,
  • b représente le nombre de tours du cercle de base nécessaires au cercle roulant pour revenir au point de départ.

Les points de rebroussements sont obtenus pour \theta = \frac{2k \pi }{q}. La longueur d'une arche (Une arche est un élément naturel ou construit qui adopte une forme géométrique proche de l'arc. L'élément délimite un espace sous lequel il est possible de faire passer au moins de l'air ou de l'eau et au plus des trains ou des avions.) est de 8 \frac{q+1}{q^2}R.
Si q est entier, la longueur totale de la courbe vaut {4 \over \pi}(1+{1 \over q}) fois la longueur du cercle de base, et l'aire totale vaut (1+{1 \over q})(1+{2 \over q}) fois celle du cercle de base.

Le théorème de la double génération prouve qu'une épicycloïde est aussi une péricycloïde de paramètre (Un paramètre est au sens large un élément d'information à prendre en compte pour prendre une décision ou pour effectuer un calcul.) q'=q/(q+1), c'est-à-dire la courbe décrite par un point d'un cercle de rayon r+R roulant sans glisser sur ce cercle directeur en le contenant.

Comme Ptolémée avant eux, les astronomes rencontrent souvent l'épicycloïde dans leur étude des des mouvements célestes, lorsqu'ils simplifient les orbites ellipsoïdales en orbites circulaires.

Quelques exemples


q = 1 : cardioïde (La cardioïde est une courbe algébrique plane, trajectoire d'un point fixé à un cercle qui roule sans glisser sur un second cercle de même diamètre. Il s'agit donc d'une courbe...)

q = 2 : néphroïde

q = 3

q = 4

q = 5

q = 1/2

q = 3/2

q = 5/2

q = 7/2

q = 9/2

q = 1/3

q = 2/3

q = 4/3

q = 5/3

q = 7/3

q = 1/4

q = 3/4

q = 5/4

q = 7/4

q = 9/4

q = 1/5

q = 2/5

q = 3/5

q = 4/5

q = 6/5
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