Une hypocycloïde est une courbe plane transcendante, trajectoire d'un point fixé à un cercle qui roule sans glisser sur un autre cercle dit directeur et à l'intérieur de celui-ci. Il s'agit donc d'un cas particulier de cycloïde à centre, qui est une catégorie de courbe cycloïdale (Une courbe cycloïdale est une courbe plane transcendante, trajectoire d'un point fixé à un...).
Le mot est une extension de cycloïde, inventé en 1599 par Galilée (Galilée ou Galileo Galilei (né à Pise le 15 février 1564 et mort à Arcetri près de Florence,...), et a la même étymologie : il vient du grec hupo (sous), kuklos (cercle, roue) et eidos (forme, " semblable à ").
La courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du...) elle-même fut étudiée par Albrecht Durer en 1525, Rømer en 1674 (qui la baptisa) et Daniel Bernoulli en 1725.
Une hypocycloïde (Une hypocycloïde est une courbe plane transcendante, trajectoire d'un point fixé à un cercle qui...) peut être définie par l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement...) paramétrique suivante :
où est le rayon du cercle de base et celui du cercle roulant. Avec , cette équation peut donc également s'écrire :
La courbe est formée d'arcs isométriques (appelés arches) séparés par des points de rebroussements. Si q est rationnel (et peut donc s'écrire q=a/b où a et b sont des entiers), a représente le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) d'arches de la courbe. On peut aussi voir ces deux grandeurs de la manière suivante :
Les points de rebroussements sont obtenus pour . La longueur d'une arche (Une arche est un élément naturel ou construit qui adopte une forme géométrique proche de l'arc....) est de .
Si q est entier, la longueur totale de la courbe vaut fois la longueur du cercle de base, et l'aire totale vaut fois celle du cercle de base.
Le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) de la double génération prouve qu'une hypocycloïde est aussi une péricycloïde, c'est-à-dire la courbe décrite par un point d'un cercle de rayon r+R roulant sans glisser sur ce cercle directeur en le contenant.
Les petites oscillations du pendule de Foucault (Un pendule de Foucault, du nom du physicien français Jean Bernard Léon Foucault, est une...) forment également une hypocycloïde.