Hypocycloïde
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Une hypocycloïde est une courbe plane transcendante, trajectoire d'un point fixé à un cercle qui roule sans glisser sur un autre cercle dit directeur et à l'intérieur de celui-ci. Il s'agit donc d'un cas particulier de cycloïde à centre, qui est une catégorie de courbe cycloïdale (Une courbe cycloïdale est une courbe plane transcendante, trajectoire d'un point fixé à un cercle qui roule sans glisser sur une courbe dite directrice. Il...).

Étymologie et histoire

Le mot est une extension de cycloïde, inventé en 1599 par Galilée (Galilée ou Galileo Galilei (né à Pise le 15 février 1564 et mort à Arcetri près de Florence, le 8 janvier 1642) est un physicien et astronome italien du XVIIe siècle,...), et a la même étymologie : il vient du grec hupo (sous), kuklos (cercle, roue) et eidos (forme, " semblable à ").

La courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les...) elle-même fut étudiée par Albrecht Durer en 1525, Rømer en 1674 (qui la baptisa) et Daniel Bernoulli en 1725.

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) mathématique

Une hypocycloïde (Une hypocycloïde est une courbe plane transcendante, trajectoire d'un point fixé à un cercle qui roule sans glisser sur un autre cercle dit directeur et à l'intérieur de celui-ci. Il s'agit donc...) peut être définie par l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de...) paramétrique suivante :

x(\theta) = (R-r) \cos \theta + r \cos (\frac{R-r}{r} \theta) \,
y(\theta) = (R-r) \sin \theta - r \sin (\frac{R-r}{r} \theta) \,

R\, est le rayon du cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du cercle. Celui-ci étant infiniment...) de base et r\, celui du cercle roulant. Avec q={R \over r}, cette équation peut donc également s'écrire :

x(\theta) = r   \left[(q-1) \cos \theta + \cos (q-1) \theta     \right] \,
y(\theta) = r  \left[(q-1) \sin \theta - \sin (q-1) \theta \right]\,

Propriétés

La courbe est formée d'arcs isométriques (appelés arches) séparés par des points de rebroussements. Si q est rationnel (et peut donc s'écrire q=a/b où a et b sont des entiers), a représente le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) d'arches de la courbe. On peut aussi voir ces deux grandeurs de la manière suivante :

  • a représente le nombre de rotations du cercle roulant nécessaires pour ramener le point (Graphie) mobile à sa position de départ,
  • b représente le nombre de tours du cercle de base nécessaires au cercle roulant pour revenir au point de départ.

Les points de rebroussements sont obtenus pour \theta = \frac{2k \pi }{q}. La longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est...) d'une arche (Une arche est un élément naturel ou construit qui adopte une forme géométrique proche de l'arc. L'élément délimite un espace sous lequel il est possible de...) est de 8 \frac{q-1}{q^2}R.
Si q est entier, la longueur totale de la courbe vaut {4 \over \pi}(1+{1 \over q}) fois la longueur du cercle de base, et l'aire totale vaut (1-{1 \over q})(1-{2 \over q}) fois celle du cercle de base.

Le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un...) de la double génération prouve qu'une hypocycloïde est aussi une péricycloïde, c'est-à-dire la courbe décrite par un point d'un cercle de rayon r+R roulant sans glisser sur ce cercle directeur en le contenant.

Les petites oscillations du pendule de Foucault (Un pendule de Foucault, du nom du physicien français Jean Bernard Léon Foucault, est une expérience conçue pour démontrer la rotation de la Terre par rapport à un référentiel galiléen ainsi que l'existence de la force de Coriolis dans...) forment également une hypocycloïde.

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