Colinéarité - Définition

En géométrie vectorielle, deux vecteurs et sont colinéaires si et seulement s'il existe un scalaire k tel que ou .

Étymologiquement, on remarque que colinéaire signifie sur une même ligne. En effet, en géométrie affine, deux vecteurs sont colinéaires si et seulement s'il existe deux représentants de ces vecteurs situés sur une même droite i.e. il existe trois points A, B, C alignés tels que

et

La colinéarité est une notion importante en géométrie affine car elle permet de définir

• l'alignement : les points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs et sont colinéaires.
• le parallélisme de deux droites : les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs et sont colinéaires

On peut remarquer que le vecteur nul est colinéaire à tout autre vecteur de l'espace vectoriel.

Sur l'ensemble des vecteurs non nuls, la relation de colinéarité est

• réflexive : un vecteur est colinéaire à lui-même
• symétrique : Si un vecteur est colinéaire à un vecteur alors est colinéaire à
• transitive :Si un vecteur est colinéaire à et si est colinéaire à alors est colinéaire à

Ce qui permet de dire que (sur l'ensemble des vecteurs non nuls) la relation de colinéarité est une relation d'équivalence dont les classes d'équivalence forment l'espace projectif associé à l'espace vectoriel