Description lagrangienne
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Pour décrire mathématiquement les propriétés d'un fluide en mouvement, deux systèmes cohabitent, l'un et l'autre présentant des avantages dans des situations particulières. Il s'agit de la description lagrangienne et de la description eulérienne.

La description lagrangienne (Pour décrire mathématiquement les propriétés d'un fluide en mouvement, deux systèmes cohabitent, l'un et l'autre présentant des avantages dans des situations particulières....) consiste à observer les modifications des propriétés d'une particule fluide (Un fluide est un milieu matériel parfaitement déformable. On regroupe sous cette appellation les gaz qui sont l'exemple des fluides compressibles, et les liquides, qui sont...) que l'on suit dans son mouvement.

Dans le cadre de cette description, et ρ désignant la densité (La densité ou densité relative d'un corps est le rapport de sa masse volumique à la masse volumique d'un corps pris comme référence. Le corps de...) du fluide, \rho(\overrightarrow{x},t) désigne la densité du fluide qui, initialement (temps 0), était à la position \overrightarrow{x} et se trouve désormais (temps t) en \overrightarrow{X}(\overrightarrow{x},t)... mais cela peut bien sûr s'appliquer à n'importe quelle autre fonction décrivant une propriété locale (On dit d'une certaine propriété mathématique qu'elle est localement vérifiée en un point d'un espace topologique s'il existe un voisinage de ce point sur lequel la...) du fluide.

Cette description donne une bonne idée de ce qui se passe dans le fluide, par exemple, si \frac{d\rho}{dt}<0, alors on peut affirmer que le fluide s'étend (la densité de la particule fluide baisse). La dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus précisément, une dérivée est une expression (numérique ou algébrique)...) droite \frac{d}{dt} est réservée à la description lagrangienne. En particulier, on peut faire un bilan des forces s'appliquant à la particule fluide que l'on suit, et appliquer la relation fondamentale (En musique, le mot fondamentale peut renvoyer à plusieurs sens.) de la dynamique (Le mot dynamique est souvent employé désigner ou qualifier ce qui est relatif au mouvement. Il peut être employé comme :) en écrivant que la somme des forces vaut la masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un corps : l'une quantifie l'inertie du corps (la masse inerte) et l'autre la contribution du...) de la particule fluide multipliée par son accélération (L'accélération désigne couramment une augmentation de la vitesse ; en physique, plus précisément en cinématique,...), écrite comme \frac{d\overrightarrow{u}}{dt}\overrightarrow{u} = \frac{d\overrightarrow{X}}{dt} est la vitesse (On distingue :).

L'inconvénient de cette méthode est que le référentiel se déplace avec le fluide, et donc, qu'il est difficile de connaître l'état du fluide en un point (Graphie) donné de l'espace et du temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.).

Le lien entre la description lagrangienne et la description eulérienne (Pour décrire mathématiquement les propriétés d'un fluide en mouvement, deux systèmes cohabitent, l'un et l'autre présentant des avantages dans des situations particulières. Il s'agit de la description lagrangienne...) est démontré ici en 1D : Pendant l'intervalle de temps dt, une particule fluide s'est déplacée de (x,t) à (x+vdt,t+dt), donc on peut écrire

\frac{df}{dt} dt = f(x+vdt,t+dt)-f(x,t)

\frac{df}{dt} dt = f(x,t)+\frac{\partial f}{\partial x} v dt + \frac{\partial f}{\partial t} dt -f(x,t)

\frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial t} + v \frac{\partial f}{\partial x}

... que l'on généralise en 3D à :

\frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial t} + \overrightarrow{v}.\overrightarrow{grad} f

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