Nombres de Feigenbaum
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En mathématiques, les nombres de Feigenbaum ou constantes de Feigenbaum sont deux nombres réels découverts par le mathématicien Mitchell Feigenbaum en 1975. Tous deux expriment des rapports apparaissant dans les diagrammes de bifurcation de la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur l’observation ou...) du chaos.

Les diagrammes de bifurcation concernent les valeurs limites prises par les suites de type xn + 1 = μf(xn) où f est une fonction réelle (En analyse, une fonction est dite réelle si ses ensembles de départ et d'arrivée sont tous deux inclus dans .), définie positive et trois fois dérivable sur [0;1] et possédant un maximum unique sur cet intervalle (c’est-à-dire sans maximum relatif) noté xm. Pour une fonction donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.), en dessous d'une certaine valeur de μ, la suite conduit à une limite unique. Au dessus de celle valeur, mais en-dessous d'une autre, la suite finit par osciller entre deux valeurs, puis au-dessus d'une autre valeur, à osciller autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne à 31 espèces d'oiseaux qui, soit appartiennent au genre Accipiter, soit constituent les 5 genres Erythrotriorchis,...) de quatre, etc. Les valeurs de μ séparant deux intervalles sont appelées des bifurcations et sont notée μ1, μ2, etc.

La première constante de Feigenbaum est définie comme la limite du rapport entre deux intervalles successifs de la bifurcation :

\delta = \lim_{n \to \infty}\frac {\mu_{n+1}-\mu_n}{\mu_{n+2}-\mu_{n+1}}

Dans le cadre de la fonction logistique (En mathématiques, la fonction logistique est une fonction polynômiale, souvent citée comme exemple de la complexité pouvant surgir de simples équations non-linéaires....)xn + 1 = μxn(1 − xn) (initialement étudiée par Feigenbaum) :

\delta\, = 4,66920160910299067185320382…

Il apparaît qu'il s'agit également du rapport entre les diamètres de deux cercles successifs sur l'axe de l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être...) de Mandelbrot.

En conséquence, tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) système chaotique qui obéit à cette description bifurquera à la même vitesse (On distingue :). La première constante de Feigenbaum peut être utilisée pour prédire quand le chaos arrivera dans tel système.

La deuxième constante de Feigenbaum est définie comme la limite du rapport entre deux distances successives entre les branches les plus proches de xm (le maximum de la fonction f) :

\alpha = \lim_{n \to \infty}\frac {d_n}{d_{n+1}}

Toujours dans le cadre de la fonction logistique :

\alpha\, = 2,502907875095892822283902873218…

Ces constantes s'appliquent à une large classe de systèmes dynamiques. Une hypothèse est que ces deux nombres sont transcendants bien que cela n'ait jamais encore été prouvé.

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