Fonction logistique
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En mathématiques, la fonction logistique est une fonction polynômiale, souvent citée comme exemple de la complexité pouvant surgir de simples équations non-linéaires. Cette fonction fut popularisée par le biologiste Robert May en 1976. Le modèle logistique (La logistique est l'activité qui a pour objet de gérer les flux physiques d'une organisation, mettant ainsi à disposition des ressources correspondant aux besoins, aux conditions économiques et pour une...) fut introduit initialement en tant que modèle démographique par Pierre François Verhulst. Il écrit en 1845 dans son ouvrage consacré à ce phénomène : nous donnerons le terme de logistique à cette courbe. L'auteur n'explique pas ce choix mais "logistique" a un lien avec les logarithmes : les deux termes étaient synonymes au XVIIIe siècle (Un siècle est maintenant une période de cent années. Le mot vient du latin saeculum, i, qui signifiait race, génération. Il a ensuite indiqué la durée d'une génération humaine et faisait 33 ans 4 mois (d'où...) et logistikos signifie "calcul" en grec.

On considère l’évolution de la population d’une espèce (Dans les sciences du vivant, l’espèce (du latin species, « type » ou « apparence ») est le taxon de base de la systématique. L'espèce est un concept...), en présence de facteurs limitants, en considérant que :

  • l’espèce se reproduit à un taux proportionnel à la population.
  • elle décroît (famine) à un taux proportionnel à la différence entre une capacité limite de l’environnement et la population.

Mathématiquement, cela peut se traduire par :

x_{n+1} = \mu x_n(1 - x_n)~

xn est un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) entre 0 et 1 représentant la population à l’année n (x0 étant la population initiale) et µ étant un nombre positif, représentant le taux combiné de reproduction et de famine.

Comportement selon µ

En faisant varier le paramètre (Un paramètre est au sens large un élément d'information à prendre en compte pour prendre une décision ou pour effectuer un calcul.) µ, plusieurs comportements différents sont observés :

  • Si 0≤µ≤1, l’espèce finira par mourir, quelle que soit la population de départ.
  • Si 1≤µ≤2, la population finit par se stabiliser autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne à 31 espèces d'oiseaux qui, soit appartiennent au genre Accipiter, soit constituent les 5 genres...) de la valeur \frac {\mu-1}{\mu}, quelle que soit la population initiale.
  • Si 2≤µ≤3, elle finit également par se stabiliser autour de \frac {\mu-1}{\mu} après avoir oscillé autour pendant quelque temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.). La vitesse (On distingue :) de convergence (Le terme de convergence est utilisé dans de nombreux domaines :) est linéaire, sauf pour µ=3 où elle est très lente (La Lente est une rivière de la Toscane.).
  • Si 3<µ≤1+√6 (environ 3,45), elle finit par osciller entre deux valeurs, dépendantes de µ, mais pas de la population initiale.
  • Si 3,45<µ<3,54 (environ), elle finit par osciller entre quatre valeurs, là encore dépendantes de µ mais pas de la population initiale.
  • Si µ est légèrement plus grand que 3,54, la population finit par osciller entre huit valeurs, puis 16, 32, etc. L’intervalle des valeurs de µ conduisant au même nombre d’oscillations décroît rapidement. Le rapport entre deux de ces intervalles consécutifs se rapproche à chaque fois de la constante de Feigenbaum, δ = 4,669…. Aucun de ces comportements ne dépend de la population initiale
  • Vers µ = 3,57, le chaos s’installe. Aucune oscillation (Une oscillation est un mouvement ou une fluctuation périodique. Les oscillations sont soit à amplitude constante soit amorties. Elles répondent aux mêmes équations quel que soit le domaine.) n’est encore visible et de légères variations de la population initiale conduisent à des résultats radicalement différents.
  • La plupart des valeurs au-delà de 3,57 présentent un caractère chaotique, mais il existe quelques valeurs isolées de µ avec un comportement qui ne l’est pas. Par exemple vers 3,82, un petit intervalle de valeurs de µ présente une oscillation entre trois valeurs et pour µ légèrement plus grand, entre six valeurs, puis douze, etc. D’autres intervalles offrent des oscillations entre 5 valeurs, etc. Toutes les périodes d’oscillation sont présentes, là encore indépendamment de la population initiale.
  • Les périodes d'oscillation précédemment décrites répondent à la règle suivante. Considérons l'ordre de Sarkovskii défini sur les entiers strictement positifs de la façon suivante :
3 \;\triangleleft\; 5 \;\triangleleft\; 7 \;\triangleleft\; \ldots \;\triangleleft\; 2\times 3 \;\triangleleft\; 2\times 5 \;\triangleleft\; 2\times 7 \;\triangleleft\; \ldots \;\triangleleft\; 2^n\times 3 \;\triangleleft\; 2^n\times 5 \;\triangleleft\; 2^n\times 7 \;\triangleleft\; \ldots
\;\triangleleft\; 2^{n+1}\times 3 \;\triangleleft\; 2^{n+1}\times 5 \;\triangleleft\; \ldots \;\triangleleft\; 2^n \;\triangleleft\; 2^{n-1} \;\triangleleft\; \ldots \;\triangleleft\; 2^2 \;\triangleleft\; 2 \;\triangleleft\; 1
Autrement dit, on place d'abord les impairs à partir de 3 par ordre croissant, puis les impairs multipliés par 2, puis par 4, etc. et on termine par les puissances de 2 par ordre décroissant. Si une valeur du paramètre µ correspond à une période d'oscillation n, alors tous entiers succédant à n dans l'ordre de Sarkovski correspondent à des périodes d'oscillation déjà apparues pour des valeurs du paramètre inférieures à µ. Ainsi, puisque µ = 3,82 correspond à une période 3, toutes les périodes d'oscillation possibles sont déjà apparues pour des valeurs de µ entre 0 et 3,82.
  • Au delà de µ=4, la population quitte l’intervalle [0;1] et diverge quasiment pour toutes les valeurs initiales.

Un diagramme (Un diagramme est une représentation visuelle simplifiée et structurée des concepts, des idées, des constructions, des relations, des données statistiques, de l'anatomie etc. employé dans tous les aspects des activités humaines pour...) de bifurcation permet de résumer tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) cela :

L’axe horizontal (Horizontal est une orientation parallèle à l'horizon, et perpendiculaire à la verticale. Une ligne horizontale va « de la gauche vers la...) porte les valeurs de µ, tandis que l’axe vertical (Le vertical (rare), ou style vertical, est un style d’écriture musicale consistant en accords plaqués.) montre les valeurs limites possibles.

Commentaires

Quelques raisonnements simples et quelques graphiques permettent d'éclairer partiellement les résultats qui précèdent.

Graphiques


L'évolution de la suite logistique peut être représentée dans le plan (xn,xn+1).

L'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à...) de base représente une parabole (La parabole est l'intersection d'un plan avec un cône lorsque le plan est parallèle à l'une des génératrices du cône. Elle est un type de courbe dont les...) qui passe par les points d'abscisses 0 et 1 sur l'axe horizontal. Pour que les valeurs de xn+1 ne deviennent pas négatives, il faut ne retenir que l'arc compris entre ces deux points ; celui-ci présente, pour xn = ½, un maximum de valeur μ/4. Cette valeur doit aussi être comprise entre 0 et 1, d'où μ < 4.

Si la suite converge, sa limite satisfait l'équation xn+1 = xn. Cette limite éventuelle, notée x, est solution de l'équation du second degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :)

x = \mu x(1-x)\,

et peut donc prendre l'une ou l'autre des valeurs

x = 0\ x = {{\mu - 1} \over \mu}

Pour décrire le comportement de la suite, il faut partir d'une abscisse x0, déterminer sur la parabole la valeur x1 qui est alors transformée en une nouvelle abscisse en passant par la bissectrice (La bissectrice d'un secteur angulaire est la demi-droite issue du sommet de l'angle qui partage cet angle en deux angles adjacents de même mesure. Elle forme de ce fait l'axe...) xn+1 = xn et répéter ces deux opérations.

Domaines de convergence

Pour certaines valeurs du paramètre μ, la suite se comporte comme une suite classique et converge vers l'une des deux limites possibles. L'équation de base peut se réécrire sous la forme

{x_{n+1}\over x_n} = \mu (1-x_n)

Si 0 \le \mu \le 1, la suite est majorée par une suite géométrique (En mathématique, on appelle suite géométrique une suite u définie sur à valeurs dans un corps E, et telle qu'il existe un élément q de appelé raison pour lequel :) qui tend vers 0.

Pour voir le comportement vis-à-vis de la seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La seconde est une unité de mesure du...) limite éventuelle, il suffit d'effectuer le changement de variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un prédicat ou un algorithme. En statistiques, une variable peut aussi...) xn = un + 1 - 1/μ. La formule devient :

{{u_{n+1}+ 1 - 1/\mu}\over {u_n+ 1 - 1/\mu}} = 1-\mu u_n

Dans ce cas, la condition de convergence exige que le second membre soit compris entre -1 et + 1 : 1 \le \mu \le 3.

On vérifie que, si un est proche de la limite 1 - 1/μ, alors 1-μ un est proche de 2 - μ et un tend vers sa limite par valeurs croissantes si μ est inférieur à 2, par valeurs alternées s'il est supérieur à 2.

Bifurcations

Dans le paragraphe précédent, la formule de récurrence de la forme xn+1 = f(xn) a permis d'obtenir les premiers attracteurs en cherchant une limite éventuelle conforme à l'équation x = f(x).

Lorsque μ devient supérieur à 3, il faut chercher une solution à l'équation x = f(f(x)). Cela conduit à une équation du quatrième degré qui possède naturellement les racines déjà connues 0, 1-1/μ – mais ce ne sont plus des attracteurs – et la paire (On dit qu'un ensemble E est une paire lorsqu'il est formé de deux éléments distincts a et b, et il s'écrit alors :) de nouvelles racines

{1 \over 2} (1 \pm {1 \over \mu} \sqrt{\mu^2 - 2 \mu - 3})

Il n'y a plus de convergence : un cycle-limite apparaît. Le résultat de l'itération bascule (Une bascule ou un basculeur est un circuit intégré logique doté d'une sortie et d'une ou plusieurs entrées. La sortie peut être au niveau logique 0 ou 1. Les changements d'état de la sortie sont...) alternativement de l'une des deux dernières racines à l'autre : un+1 =un-1 tandis que un+2 =un. Pour μ = 3.4, les valeurs approchées successives 0.84, 0.45, 0.84, 0.45, 0.84.... apparaissent.

Au delà de la limite de stabilité de ce cycle, √6 - 1, deux nouvelles bifurcations se produisent, qui dépendent des solutions de x = f(f(f(f(x)))). Pour μ = 3.47, les valeurs successives sont de l'ordre de 0.47, 0.86, 0.40, 0.84, 0.47,...

Chaos

De bifurcation en bifurcation, les évolutions deviennent de plus en plus complexes. Le processus aboutit, pour μ > 3.57 environ, à des systèmes qui ne présentent généralement plus d'attracteurs visibles. Les graphiques représentent alors une évolution "chaotique" au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du...) usuel du terme.

Cependant, dans le langage des mathématiciens, le mot chaos représente une forte sensibilité aux conditions initiales. Les deux graphiques correspondant à μ = 3.9 avec des valeurs initiales u0 0.100 et 0.101 montrent que les trajectoires s'éloignent l'une de l'autre jusqu'à devenir rapidement distinctes. Dans un problème concret les conditions initiales ne sont jamais connues exactement : au bout d'un certain temps, un phénomène chaotique est devenu imprévisible alors même que la loi qui le définit est parfaitement déterministe.

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