Taux zéro-coupon
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En finance, un taux zéro-coupon pour une date de départ et une durée données est le taux actuariel qu'aurait une obligation ou un swap de mêmes caractéristiques temporelles mais ayant un coupon de 0%.

Courbe des taux actuariels des swaps en euros le 12 juillet 2005 et courbe des taux zéro-coupon qui en découle
Courbe des taux actuariels des swaps en euros le 12 juillet 2005 et courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et les cercles sont des courbes.) des taux zéro-coupon (En finance, un taux zéro-coupon pour une date de départ et une durée données est le taux actuariel qu'aurait une obligation ou un swap de mêmes caractéristiques temporelles mais ayant un coupon de 0%.) qui en découle

Objectif

Seul un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme...) de taux zéro-coupon permet de calculer des coefficients d'actualisation (L'actualisation est la méthode qui sert à ramener à une même base des flux financiers non directement comparables car se produisant à des dates différentes. Cela permet non seulement de les...) cohérents. Tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) autre mode de raisonnement introduit des biais dans le calcul.

Si, pour les besoins des particuliers ou des PME, la notion de taux actuariel (Le taux actuariel d'un ensemble de flux financiers, comme un emprunt bancaire ou obligataire ou encore d'un placement est son taux calculé selon le modèle actuariel, lequel est une simplification du processus d'actualisation.) suffit généralement, celle-ci est tout à fait insuffisante pour les gestionnaires de fonds et les professionnels des marchés financiers. Ceux-ci utilisent, pour actualiser les flux (Le mot flux (du latin fluxus, écoulement) désigne en général un ensemble d'éléments (informations / données, énergie, matière, ...) évoluant dans un sens commun. Plus précisément le...) financiers d'un instrument, des taux zéro-coupon différents, correspondant aux dates de chacun des flux, plutôt que d'appliquer un taux actuariel global, sorte de taux moyen ne tenant pas compte de la forme de la courbe des taux.

Courbe calculée/courbe constatée

Il peut exister deux grandes catégories de courbes des taux zéro-coupon :

  • celles qui sont constatées, sur le marché des strips, c’est-à-dire des emprunts d'État démembrés ;
  • celles qui sont calculées.

Néanmoins, comme seulement environ 10% des obligations assimilables du Trésor et 5 % des Bunds qui peuvent l'être sont effectivement démembrés, les instruments susceptibles de la composer ne sont pas assez liquides pour qu'on puisse disposer d'une courbe cohérente. Seules les courbes calculées, et qui dans le cas des emprunts d'État ne sont que des courbes théoriques, ont véritablement un sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du ralentissement du...).

Détermination

Par définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.), on a, pour une période séparant une date d d'une date D plus éloignée :

CA(d,D) = \frac{1}{(1+Z(d,D))^{(D-d)}}

où :

  • CA(d,D) est le coefficient (En mathématiques un coefficient est un facteur multiplicatif qui dépend d'un certain objet, comme une variable (par exemple, les coefficients d'un...) d'actualisation à la date d applicable à la date D;
  • Z(d,D) est le taux zéro-coupon de d à D.

Si l'on dispose des coefficients d'actualisation, on disposera donc d'une courbe zéro-coupon et inversement.

On utilise nécessairement un processus itératif (Le processus itératif est une séquence d'instructions destinée à être exécutée plusieurs fois et autant de fois qu'on peut en avoir besoin. C'est aussi une exécution de la séquence.). En effet, jusqu'à un an, tous les taux sont nécessairement zéro-coupon. Par exemple, un taux actuariel, donc zéro-coupon, à un an plus un taux actuariel à deux ans permettent de trouver le taux zéro-coupon à 2 ans, et ainsi de suite.

Ce processus est traditionnellement appelé en anglais bootstrapping, car jusqu'aux années 1990 les données (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction d'affaire,...) des marchés de taux d'intérêt comportaient souvent des "trous" sur certaines durées, que l'explosion (Une explosion est la transformation rapide d'une matière en une autre matière ayant un volume plus grand, généralement sous forme de gaz. Plus cette...) de l'endettement des États a depuis largement comblé, et sur lesquels il fallait interpoler. Cette expression fait référence aux aventures du baron de Münchhausen, lequel est censé s'être sorti d'un marécage où il était embourbé rien qu'en se tirant par les bottes et se propulsant ainsi dans les airs. Les bootstraps sont les anneaux, en cuir ou en tissu, cousus sur le rebord des bottes et dans lesquels on passe les doigts pour s'aider à les enfiler.

Cas particulier d'une courbe au pair

Il est particulièrement aisé de déterminer une courbe de taux (En finance, l'expression courbe de taux désigne la représentation graphique ou mathématique en fonction de leur durée des taux d'intérêt, constatés à un moment donné sur un marché financier, d'une même classe d'instruments...) zéro-coupon à partir d'une courbe de taux actuariels au pair, c'est-à-dire une dont les taux nominaux sont égaux au taux actuariels, comme une courbe de swaps.

Si on note

S_n =  \sum_{i=1}^n CA(0,D_i)

et Tn le taux actuariel applicable à l'échéance n,

on alors :

Tn . Sn + CA(0,Dn) = 1

Cas des emprunts d'État

Le problème principal, dans le calcul de taux zéro-coupon sur des emprunts d'État, vient de ce qu'ils ne sont pas véritablement fongibles, à la différence des swaps, que leur courbe de taux est donc irrégulière et qu'on doit donc procéder à un calcul statistique (Une statistique est, au premier abord, un nombre calculé à propos d'un échantillon. D'une façon générale, c'est le résultat de l'application d'une méthode statistique à un ensemble...) qui ne peut être entièrement automatisé. Il faut en effet procéder à des choix : quelles irrégularités garder, car elles sont structurelles, quelles autres faut-il corriger, etc?

Forme de la courbe des taux zéro-coupon

Elle ne coïncide avec la courbe des taux actuariels sous-jacente que dans un seul cas, d'ailleurs fort improbable, celui ou la courbe actuarielle serait une droite horizontale.

Dans tous les autres cas, la courbe zéro-coupon va amplifier les caractéristiques de la courbe actuarielle dont elle est issue :

  • une courbe croissante, comme sur le graphe (Le mot graphe possède plusieurs significations. Il est notamment employé :) ci-dessus, donnera lieu à une courbe zéro-coupon
    • située au-dessus d'elle
    • et encore plus croissante;
  • une courbe décroissante (l'expression consacrée est : inversée) donnera lieu à une courbe zéro-coupon
    • située en-dessous d'elle
    • et encore plus décroissante.
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