Opérations sur les limites
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Logique (La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος), terme inventé par Xénocrate signifiant à la fois raison, langage, et raisonnement) est dans une première approche l'étude...)
Probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un évènement. En mathématiques, l'étude des probabilités est un sujet de grande importance donnant...)
Statistique (Une statistique est, au premier abord, un nombre calculé à propos d'un échantillon. D'une façon générale, c'est le résultat de l'application d'une méthode statistique à un ensemble de données....)

Cette page est une annexe de l'article limite (mathématiques élémentaires), qui explique comment traduire en termes de limites les opérations usuelles : addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la réunion de quantités ou l'adjonction de grandeurs extensives de même nature, comme les longueurs, les aires, ou les...), multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division .), composition...

Tous les résultats listés ici sont valables à la fois pour les limites de fonctions et pour les limites de suites

Opérations algébriques

On considère ici le cas où on effectue les opérations algébriques élémentaires sur des fonctions ou des suites dont on connaît les limites. Dans la plupart des cas on peut conclure mais parfois une étude supplémentaire est nécessaire, on parle de forme indéterminée (En mathématiques, une indéterminée est le concept permettant de formaliser des objets comme les polynômes formels, les fractions rationnelles ou encore les séries formelles. On la désigne en...), ou FI. Ces cas seront traités à part.

Multiplication par un réel

On peut multiplier une suite u = (u_n) \,\! ou une fonction f \,\! par un réel fixé k \,\! ; on obtient alors :

  • La suite ku = \bigl((ku)_n\bigr) \,\! définie par : \forall n \in \N,\ (ku)_n = k \times u_n \,\!
  • La fonction kf \,\! définie par : \forall x \in \R,\ (kf)(x) = k \times f(x) \,\!

Alors on peut écrire le tableau (Tableau peut avoir plusieurs sens suivant le contexte employé :) suivant, selon que la suite converge vers une limite finie \ell \,\! ou diverge vers \pm\infty \,\! :

\lim \, u_n \,\! \ \ \ell \ \,\! \ -\infty \ \,\! \ +\infty \ \,\!
\lim \, (ku)_n \,\! \ k>0 \,\! \ k\ell \ \,\! \ -\infty \ \,\! \ +\infty \ \,\!
\ k<0 \,\! \ k\ell \ \,\! \ +\infty \ \,\! \ -\infty \ \,\!

On a exactement le même tableau pour les cas d'une fonction f \,\!. Que ce soit pour une limite en un point (Graphie) a \in  \R \,\! ou pour une limite en \pm\infty \,\! on écrira \lim \, f \,\!. La limite de kf \,\! est :

\lim \, f \,\! \ \ \ell \ \,\! \ -\infty \ \,\! \ +\infty \ \,\!
\lim \, kf \,\! \ k>0 \,\! \ k\ell \ \,\! \ -\infty \ \,\! \ +\infty \ \,\!
\ k<0 \,\! \ k\ell \ \,\! \ +\infty \ \,\! \ -\infty \ \,\!

Addition

On peut additionner deux suites u=(u_n) \,\! et v=(v_n) \,\! ou deux fonctions f \,\! et g \,\! :

  • La suite u+v \,\! est définie par : \forall n \in \N, \ (u+v)_n = u_n+v_n \,\!
  • La fonction f+g \,\! est définie par : \forall n \in \N, \ (f+g)(x) = f(x)+g(x) \,\!

On peut donner la limite de la suite u+v \,\! en fonction des limites respectives des suites u \,\! et v \,\!. Les résultats sont présentés dans le tableau suivant :

\lim \, v_n \,\!
\lim \, u_n \,\! \ell' \,\! -\infty \,\! +\infty \,\!
\ell \,\! \ell + \ell'  \,\! -\infty \,\! +\infty \,\!
-\infty \,\! -\infty \,\! -\infty \,\! FI
+\infty \,\! +\infty \,\! FI +\infty \,\!

On a exactement le même tableau pour la limite de f+g \,\! en fonction des limites respectives de f \,\! et de g \,\!.

\lim \, f \,\!
\lim \, g \,\! \ell' \,\! -\infty \,\! +\infty \,\!
\ell \,\! \ell + \ell'  \,\! -\infty \,\! +\infty \,\!
-\infty \,\! -\infty \,\! -\infty \,\! FI
+\infty \,\! +\infty \,\! FI +\infty \,\!

Multiplication

On peut multiplier deux suites u=(u_n) \,\! et v=(v_n) \,\! ou deux fonctions f \,\! et g \,\! :

  • La suite u \times v \,\! est définie par : \forall n \in \N, \ (u \times v)_n = u_n \times v_n \,\!
  • La fonction f \times g \,\! est définie par : \forall n \in \N, \ (f \times g)(x) = f(x) \times g(x) \,\!

On peut donner la limite de la suite u \times v \,\! en fonction des limites respectives des suites u \,\! et v \,\!. Les résultats sont présentés dans le tableau suivant :

\lim \, v_n \,\!
\lim \, u_n \,\! \ell'<0 \,\! \ell'>0 \,\! 0 \,\! -\infty \,\! +\infty \,\!
\ell<0 \,\! \ell \ell' \,\! \ell \ell' \,\! 0 \,\! +\infty \,\! -\infty \,\!
\ell>0 \,\! \ell \ell' \,\! \ell \ell' \,\! 0 \,\! -\infty \,\! +\infty \,\!
0 \,\! 0 \,\! 0 \,\! 0 \,\! FI FI
-\infty \,\! +\infty \,\! -\infty \,\! FI +\infty \,\! -\infty \,\!
+\infty \,\! -\infty \,\! +\infty \,\! FI -\infty \,\! +\infty \,\!

On a exactement le même tableau pour la limite de f \times g \,\! en fonction des limites respectives de f \,\! et de g \,\!.

\lim \, g \,\!
\lim \, f \,\! \ell'<0 \,\! \ell'>0 \,\! 0 \,\! -\infty \,\! +\infty \,\!
\ell<0 \,\! \ell \ell' \,\! \ell \ell' \,\! 0 \,\! +\infty \,\! -\infty \,\!
\ell>0 \,\! \ell \ell' \,\! \ell \ell' \,\! 0 \,\! -\infty \,\! +\infty \,\!
0 \,\! 0 \,\! 0 \,\! 0 \,\! FI FI
-\infty \,\! +\infty \,\! -\infty \,\! FI +\infty \,\! -\infty \,\!
+\infty \,\! -\infty \,\! +\infty \,\! FI -\infty \,\! +\infty \,\!

Division (La division est une loi de composition qui à deux nombres associe le produit du premier par l'inverse du second. Si un nombre est non nul, la fonction "division par ce nombre" est la...)

On peut diviser une suite u=(u_n) \,\! par une suite v=(v_n) \,\! vérifiant \forall n\in \N,\ v_n \neq 0 \,\! ou une fonction f \,\! par une fonction g \,\! vérifiant g(x) \neq 0 \,\! pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) x \,\! au voisinage (La notion de voisinage correspond à une approche axiomatique équivalente à celle de la topologie. La topologie traite plus naturellement les notions globales comme la continuité qui s'entend ici comme...) du point considéré :

  • La suite \frac{u}{v} \,\! est définie par : \forall n \in \N, \ \left(\frac{u}{v}\right)_n = \frac{u_n}{v_n} \,\!
  • La fonction \frac{f}{g} \,\! est définie par : \left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \,\! pour tous les x \,\! tels que g(x) \neq 0 \,\!

On peut donner la limite de la suite \frac{u}{v} \,\! en fonction des limites respectives des suites u \,\! et v \,\!. Les résultats sont présentés dans le tableau suivant :

\lim \, v_n \,\!
\lim \, u_n \,\! \ell'<0 \,\! \ell'>0 \,\! 0^- \,\! 0^+ \,\! -\infty \,\! +\infty \,\!
\ell<0 \,\! \frac{\ell}{\ell'} \,\! \frac{\ell}{\ell'} \,\! +\infty \,\! -\infty \,\! 0^{(+)} \,\! 0^{(-)} \,\!
\ell>0 \,\! \frac{\ell}{\ell'} \,\! \frac{\ell}{\ell'} \,\! -\infty \,\! +\infty \,\! 0^{(-)} \,\! 0^{(+)} \,\!
0^- \,\! 0^{(+)} \,\! 0^{(-)} \,\! FI FI 0^{(+)} \,\! 0^{(-)} \,\!
0^+ \,\! 0^{(-)} \,\! 0^{(+)} \,\! FI FI 0^{(-)} \,\! 0^{(+)} \,\!
-\infty \,\! +\infty \,\! -\infty \,\! +\infty \,\! -\infty \,\! FI FI
+\infty \,\! +\infty \,\! -\infty \,\! +\infty \,\! -\infty \,\! FI FI

On a exactement le même tableau pour la limite de \frac{f}{g} \,\! en fonction des limites respectives de f \,\! et de g \,\!.

\lim \, g \,\!
\lim \, f \,\! \ell'<0 \,\! \ell'>0 \,\! 0^- \,\! 0^+ \,\! -\infty \,\! +\infty \,\!
\ell<0 \,\! \frac{\ell}{\ell'} \,\! \frac{\ell}{\ell'} \,\! +\infty \,\! -\infty \,\! 0^{(+)} \,\! 0^{(-)} \,\!
\ell>0 \,\! \frac{\ell}{\ell'} \,\! \frac{\ell}{\ell'} \,\! -\infty \,\! +\infty \,\! 0^{(-)} \,\! 0^{(+)} \,\!
0^- \,\! 0^{(+)} \,\! 0^{(-)} \,\! FI FI 0^{(+)} \,\! 0^{(-)} \,\!
0^+ \,\! 0^{(-)} \,\! 0^{(+)} \,\! FI FI 0^{(-)} \,\! 0^{(+)} \,\!
-\infty \,\! +\infty \,\! -\infty \,\! +\infty \,\! -\infty \,\! FI FI
+\infty \,\! +\infty \,\! -\infty \,\! +\infty \,\! -\infty \,\! FI FI

Formes indéterminées

Les formes indéterminées sont soit de type additif : +\infty - (+\infty)\,\!, soit de type multiplicatif : 0 \times \pm\infty \,\!, \frac{0}{0} \,\! ou \frac{\pm\infty}{\pm\infty} \,\!.

Pour parvenir à lever l'indétermination, on utilise une ou plusieurs des techniques suivantes :

  • On essaye de transformer l'écriture (factorisation, développement, etc.)
  • On utilise les résultats sur les croissances comparées des fonctions usuelles (Les fonctions usuelles sont à la fois les plus simples et les plus importantes des fonctions utilisées en mathématiques. La plupart sont généralement plus ou moins connues dans le...) (voir Limites de référence)
  • On applique les propriétés classiques des limites

Exemple : on cherche à calculer \lim_{x \to 0^+} \left(\frac{1}{x^3}-\frac{1}{x^4}\right) \,\!

\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^3} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^4} = +\infty \,\! donc on est dans un cas de forme indéterminée " additive " ; on factorise l'expression :
\frac{1}{x^3}-\frac{1}{x^4} = \frac{1}{x^4} \times (x-1) \,\!
\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^4} = +\infty \,\! et \lim_{x \to 0^+} (x-1) = -1 \,\! donc on peut conclure d'après les règles sur la multiplication : \lim_{x \to 0^+} \left(\frac{1}{x^3}-\frac{1}{x^4}\right) = -\infty \,\!

Composition

Soient :

  • f une fonction définie sur J;
  • g une fonction définie sur I telle que f(I)\subset J;
  • a\in I ou a une borne de I;

Si :

  • \lim_{x\to a}g(x) = b
  • \lim_{x\to b}f(x) = \ell'

Alors \lim_{x\to a}f\circ g (x)=\ell'

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