Tribu de Lebesgue - Définition

Introduction

Un ensemble Lebesgue-mesurable (qu'on abrège souvent en mesurable) est une partie de l'espace dont la mesure de Lebesgue peut être définie, le concept pouvant être étendu à toute variété différentiable M. On appelle tribu de Lebesgue l'ensemble des parties Lebesgue-mesurables de M.

Définition

Comme exposé à l'article mesure de Lebesgue, cette mesure sur est définie sur une σ-algèbre de parties de , complétée de la tribu borélienne. Cette tribu est appelée tribu de Lebesgue et les ensembles qui la constituent sont les parties Lebesgue-mesurables de .

Cardinalité de la tribu de Lebesgue

Preuve :

Pour c'est facile : l'ensemble est un borélien de de mesure nulle. Toutes ses parties sont donc Lebesgue-mesurables puisque négligeables.

Pour n = 1 il faut chercher un exemple un peu moins évident. L'ensemble triadique de Cantor apporte la réponse : c'est un ensemble compact donc borélien, de mesure nulle, et pourtant en bijection avec . Ses parties sont donc Lebesgue-mesurables et le cardinal de leur ensemble est , où désigne le cardinal de (la « puissance du continu »).

CQFD

Caractérisation des mesurables de l'espace n-dimensionnel

Du point de vue de la complétion de la tribu de Borel

Les parties mesurables de sont les parties A qui peuvent être écrites sous la forme :

, avec B borélien et N négligeable (pour la mesure de Borel-Lebesgue).

La variante suivante peut être utile : A est mesurable si et seulement si il peut être écrit sous la forme :

, avec B borélien et N négligeable (Δ symbolisant la différence symétrique).

Du point de vue de la mesure extérieure

Dans cette section, on note l'ensemble des « pavés », c'est-à-dire les produits cartésiens d'intervalles bornés, c'est-à-dire les ensembles de la forme , où les I_i désignent des intervalles de qui peuvent être fermés, ouverts ou semi-ouverts, et on note le volume d'un tel pavé (au sens de produit des longueurs de ses côtés).

Pour , la mesure extérieure de A est définie ainsi :

Théorème — Soit . L'ensemble A est Lebesgue-mesurable si et seulement si :

pour tout , .

Cette caractérisation est due à Carathéodory, la caractérisation originelle par Lebesgue est la suivante :

Théorème — Soit borné, et E un pavé contenant A. L'ensemble A est Lebesgue-mesurable si et seulement si :

.

Il est facile de voir que le réel défini par est indépendant du pavé utilisé pour mettre A en boîte ; on appelle ce réel la « mesure intérieure » de A. Avec cette convention de vocabulaire, le résultat précédent s'exprime ainsi : les ensembles mesurables bornés sont les ensembles bornés dont les mesures intérieure et extérieure coïncident.

Pour des ensembles non bornés, on peut écrire un énoncé analogue au précédent, en faisant intervenir une suite de pavés remplissant l'espace  :

Généralisation de l'énoncé précédent — Soit , et une suite de pavés dont la réunion est . L'ensemble A est Lebesgue-mesurable si et seulement si :

pour tout .

Ensembles non mesurables

La cardinalité ne permet pas de déterminer si la tribu de Lebesgue de est ou non égale à l'ensemble de toutes les parties de  : chacun de ces deux ensembles de parties a le même cardinal .

On connaît des exemples d'ensembles non-mesurables. Un des plus simples est l'ensemble de Vitali, inventé en 1905 par Giuseppe Vitali : un ensemble de représentants des classes de tous choisis dans l'intervalle [0,1]. Un autre exemple spectaculaire est le sous-ensemble de la boule unité de qui donne naissance au paradoxe de Banach-Tarski.

Ces deux exemples font appel à l'axiome du choix. Ce n'est pas fortuit. L'existence du modèle de Solovay (en), publié par Robert M. Solovay en 1970, montre en effet que dans la théorie des ensembles ZF sans axiome du choix, on ne peut espérer prouver l'existence d'ensembles non mesurables (et ce d'ailleurs même en supposant l'axiome du choix dépendant).