Matrice stochastique
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En mathématiques, une matrice stochastique (aussi appelée matrice de Markov) est une matrice carrée dont chaque élément est un réel compris entre 0 et 1 et dont la somme des éléments de chaque ligne vaut 1. Cela correspond, en probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un évènement. En mathématiques,...), à la matrice de transition d'une chaîne (Le mot chaîne peut avoir plusieurs significations :) de Markov finie.

Voici un exemple de matrice stochastique (En mathématiques, une matrice stochastique (aussi appelée matrice de Markov) est une matrice carrée dont chaque élément est un réel compris entre 0 et 1 et dont la somme des éléments de chaque...) P (dans cet exemple, la somme des éléments de chaque ligne est égale à 1; on remarque que la somme des éléments de chaque colonne est quelconque):

P = \begin{pmatrix} 0,5 & 0,3 & 0,2 \\ 0,2 & 0,8 & 0 \\ 0,3 & 0 ,3& 0,4 \end{pmatrix}

Si G est une matrice stochastique, alors on appelle vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer un exemple de...) stable pour G le vecteur h tel que:

hG = h

Par exemple:

G = \begin{pmatrix} 0,95 & 0,05 \\ 0,03 & 0,97 \end{pmatrix}

et

h = \begin{pmatrix} 0,375 & 0,625 \end{pmatrix}
hG = \begin{pmatrix} 0,375 & 0,625 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0,95 & 0,05 \\ 0,03 & 0,97 \end{pmatrix}
hG =  \begin{pmatrix} 0,35625 + 0,01875 & 0,01875 + 0,60625 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,375 & 0,625 \end{pmatrix}

Cet exemple montre que hG = 1h. Pour des équations du type hG = βh, où β est un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) réel , on dit que h est un vecteur propre (En mathématiques, le concept de vecteur propre est une notion algébrique s'appliquant à une application linéaire d'un espace dans lui-même. Il correspond à l'étude des axes...) associé à la valeur propre (En mathématiques, le concept de vecteur propre est une notion algébrique s'appliquant à une application linéaire d'un espace dans lui-même. Il correspond à l'étude des axes privilégiés, selon lesquels...) β. On peut donc dire que h est un vecteur propre associé à la valeur propre 1.

Une matrice stochastique est dite régulière s'il existe un entier k tel que la matrice Pk ne contient que des réels strictement positifs.

La matrice 3 × 3 précédente est régulière car :

P^2 = \begin{pmatrix} 0,37 & 0,45 & 0,18\\ 0,26 & 0,70 & 0,04\\ 0,33 & 0,45 & 0,22 \end{pmatrix}

Le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique...) des matrices stochastiques stipule (En botanique, les stipules sont des pièces foliaires, au nombre de deux, en forme de feuilles réduites située de part et d'autre du pétiole, à sa base, au point d'insertion sur la tige.) que, si A est une matrice stochastique régulière, alors A possède un vecteur stable t tel que, si xo est un état initial quelconque, et si xk+1 = xkA pour k = 0, 1, 2, ..... alors la chaîne de Markov {xk} converge vers t quand k \to \infty. C’est-à-dire:

\lim_{k \to \infty} \textbf{x}_0 A^k = \textbf{t}

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