Ensemble de définition
Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
La liste des auteurs de cet article est disponible ici.

En mathématiques, l' ensemble de définition D f  d'une fonction  f  dont l' ensemble de départ est noté  E  et l' ensemble d'arrivée  F , est l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble),...) des antécédents de f, c'est-à-dire l'ensemble des éléments de E que f met en relation avec des éléments de F ; c'est donc l'ensemble des éléments x de E pour lesquels f ( x ) existe :

D_f  = \{ x \in E \ |\, \exists\ y \in F \,/\, y = f ( x ) \} \,

D f  est encore appelé domaine de définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions...) de f ou domaine de f.

Il ne faut pas confondre le domaine de définition d'une fonction f ( pour mémoire : D f  ) avec son ensemble de départ ( pour mémoire : E ). Il arrive toutefois que les deux soient égaux : la fonction est alors une application. Elle est dite dans ce cas bien définie ou définie partout dans E.

A titre de contre-exemple (En mathématiques, un contre-exemple est un exemple, un cas particulier ou un résultat général, qui contredit les premières impressions. Un contre-exemple peut aussi être donné pour rejeter...), considérons la fonction f : \begin{pmatrix} \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \\ x \longmapsto \frac{1}{x} \end{pmatrix} \, .

Cette fonction n'est pas définie en 0 : " f ( 0 ) " n'existe pas.

L'ensemble de définition (En mathématiques, l' ensemble de définition D f  d'une fonction  f  dont l' ensemble de départ est noté  E  et l' ensemble d'arrivée  F , est l'ensemble des antécédents de f,...) de cette fonction est donc \mathbb{R}^* \, (rappel : \mathbb{R}^* = \mathbb{R} - \{ 0 \} \,). Il diffère de son ensemble de départ, \mathbb{R} \, ; cette fonction n'est donc pas une application.

Cependant, il est toujours possible de transformer une fonction en application, par exemple en la restreignant à son domaine de définition. Cette restriction est notée habituellement " f |_{D_f} \, ". C'est une application par construction.

Ainsi, dans notre exemple, la fonction f |_{\mathbb{R}^*} : \begin{pmatrix} \mathbb{R}^* \longrightarrow \mathbb{R}^* \\ x \longmapsto \frac{1}{x} \end{pmatrix} \, est bien une application.

Une autre solution pour transformer une fonction en application consiste à la prolonger, c'est-à-dire choisir une image dans l'ensemble d'arrivée pour chacun des éléments sans image de l'ensemble de départ. En particulier, si une fonction numérique (Lorsque nous exprimons qu’une quantité dépend d’une autre quantité nous supposons qu’il existe un moyen d’obtenir cette quantité à...) f n'est pas définie en un point (Graphie) x 0 , il est possible de la prolonger en ce point en la remplaçant par une autre fonction, appelée prolongement de f en x 0 et notée habituellement " \bar f \, ", et telle que :

  • le prolongement de f est égal à f sur D f  :
\forall\ x \in D_f \, \bar f ( x ) = f ( x ) \,
  • le prolongement de f a une valeur définie, a, au point x 0  :
\exists\ a \in F /\, \bar f ( x_0 ) = a \,

Ainsi, dans notre exemple, on peut transformer la fonction f \, en application en la prolongeant à l'origine par : f ( 0 ) = 0 \,

Remarque : assez souvent, pour alléger les notations, le prolongement est noté de la même manière que la fonction initiale. Cette ambiguïté est sans conséquence si le prolongement est explicité et remplace aussitôt et définitivement la fonction initiale.

Page générée en 0.062 seconde(s) - site hébergé chez Amen
Ce site fait l'objet d'une déclaration à la CNIL sous le numéro de dossier 1037632
Ce site est édité par Techno-Science.net - A propos - Informations légales
Partenaire: HD-Numérique