C'est un problème de stroboscopie...
En fait tu sais que l'aiguille des heures fait un tour en 12 heures.
L'aiguille des minutes fait un tour en 60 minutes.
On sait qu'à midi les aiguilles sont superpoées. Quelle est la superposition suivante ?
Admettons que tu considère les auiguilles à 1h, et que les aiguilles se superposent dans T minutes.
Alors dans ce cas l'aiguille des minutes aura avancé de T/60 ＊ 360 degrés.
L'aiguilles des heures aura avancé de T/60/12 ＊ 360 + 360/12 degrés
En gros, la première équation donne l'angle que fait l'aiguille des minutes avec la verticale en fonction du temps, la deuxième c'est l'aiguille des heures.
En égalisant les deux équations tu as l'instant où les heures et les minutes se superposent encore (donc aux environs de 1h05).
T＊(1/60 - 1/60/12) = 1/12
T = 5＊12/11 = 5.454545... = 5' 27''
Donc les aiguilles se superposent à nouveau à 1h05'27''
Pour les autres heures il faut résoudre cette équation :
T＊(1/60 - 1/60/12) = N/12
soit : T = 5＊N / (11/12) = 60＊N/11
avec N prenant 12 valeurs différentes (N parcourent les entiers de 0 à 11).
Donc pour la deuxième rencontre, on peut supputer que c'est autour de 2h10, avec N=2 on a :
T = 120/11 = 10.90 = 10' 54.55''
Soit 2h10'54.55''
etc...
edit : j'avais fait une erreur c'est rectifié (et j'ai corrigé les coquilles en orthogtraphe)
bongo1981
T＊(1/60 - 1/60/12) = 1/12
T = 5＊12/11 = 5.454545... = 5' 27''Donc les aiguilles se superposent à nouveau à 1h05'27''
Comment les trois aiguilles peuvent-elles se superposer à cett eheure la si l'aiguilles des secondes est sur 27 aors que les deux autres sont approximativement sur le 5 ?
Ben tu peux tenter, tu auras pour un n donné deux équations (la première c'est celle donnant l'instant où les aiguilles des heures et des minutes se superposent) , l'autre donne l'instant celles des minutes et des secondes se superposent.
Si ces valeurs ne sont pas les mêmes alors c'est impossible (c'est ce que je pense).
A part pour minuit et midi, je pense qu'il n'y a pas d'autres configurations.
Tu peux tenter le calcul
En fait la réponse est donnée dans mes calculs, pour le premier croisement à 1h05'27'' on voit que la trotteuse est loin devant.
Pouir le second survenant à 2h10'54'' identiquement la trotteuse est loin devant aussi.
3ème croisement : 3h16'21''
4ème : 4h21'49''
5ème : 5h27'16''
6ème : 6h32'43''
7ème : 7h38'10''
8ème : 8h43'38''
9ème : 9h49'05''
10ème : 10h54'32''
11ème : 12h00'00''
les secondes et les minutes n'indiquent jamais la même valeur excepté pour 12h donc les 3 aiguilles ne se superposent qu'à midi et minuit et jamais ailleurs.
Merci, mais le plus dur a été fait là :https://www.techno-science.net/forum/viewtopic.php?p=40184#40184
Je n'ai fait que les applications numériques, et interpréter les résulats.
Victor
en théorie il n'y a que midi et minuit ou les 3 aiguilles se superposent exactement tu n'as qu'à faire le raisonnement pour 1h 05, 2h 10 etc.
Tu verras il y'a toujours quelques différences dans les aiguilles
à chaque heure, l'aiguille des minutes passe une fois au dessus de celle des heures, et à chaque minute, l'aiguille des secondes passe une fois au dessus de celle des minutes...je pense que pour chaque heure, il y a superposition des 3 aiguilles, mais à quel moment ? je sais pas
Je crois que la situation ou les secondes passent au dessus de l'aiguilles des minutes ne se présentera que lorsque que les minutes et les heures ne seront plus alignés. Je suis assez d'accord pour dire que le tout ne se croisera qu'a midi et à minuit. (j'essayerai de la démontrer qquand ma mere sera la et que je serai privé de pc XD)
Je n'ai fait que les calculs.
En fait si tu regardes bien l'équation : 60＊N/11
Tu peux par un raisonnement arithmétique conclure que ce n'est possible que si 60＊N/11 (qui est un temps en minute) donne un nombre du type : M + M/60 (exemple si on veut que les 3 aiguilles soient superposées, il faut que les minutes trouvées soient M et les secondes M, donc la durée T après la Nième heure doit s'écrire M + M/60), ceci est valable pour N variant de 0 à 10 puisque 60＊N/11 < 60 minutes
Or cela fait 61M/60 = 60＊N/11 pour M et N entiers, soit :
M = 3600 / (61＊11) ＊ N
Ca ne marche que pour N = 0 (le cas trivial)
Pour le cas N=11, il ne figure pas dans cette solution puisque 60 minutes = 1h.
je pense que jamais parce la situation idéale serait les seconde sur 12h, les minutes sur 4h et l'heure sur 8h ou encore 8h et 4h mais que si tu calcules l'avancée des minutes ça décale l'heure de restropectivement de 4h= 20mn et 8h 40mn soient des angles supplémentaires pour les heures de restropectivement 30°X 20/60 = 10° et 30°X 40/60= 20°
Il ya aussi la solution de l'aiguille des minutes sur 12h l'aiguille des heures sur 4 h ou 8H et restropectivement l'aiguille des secondes sur 8h ou 4h mais encore l'aiguille des secondes décalera les 2 autres de 40s ou 20s soient des angles en plus pour l'heure de 30° X40/3600=0.33° ET = 0.1666° et pour les minutes de 6° X40/60= 4° ET 2°
C'est pas évident de répondre comme ça intuitivement...
Commençons par voir quand l'aiguille des heures et des minutes forment un angle de 120°.
La position de la petite aiguille, celle des heures est repérée par l'angle THETA :
THETA(t) = OMEGA ＊ t
La position de la petite aiguille, celle des minutes est repérée par l'angle theta :
theta(t) = omega ＊ t
En posant OMEGA = 2＊pi / (12 ＊ 60 ＊ 60) / s et omega = 2＊pi / (60 ＊ 60) / s
On cherche un instant t tel que : theta(t) - THETA(t) = 2＊pi/3 ou 4＊pi/3 [2*pi]
modulo 2＊pi
(ce qui veut dire que la petite et la grande aiguille peuvent former un angle de 120° de deux façons différentes)
Ceci revient à calculer : 2＊pi＊t/(60＊60) ＊ 11/12 = 2＊pi/3 ou 4＊pi/3 [2*pi]
Soit un exercice d'arithmétique :
Pour k=1 ou 2, trouver t tel que :
(11t-14400k)/(12＊3600) est entier
Pour k=1 :
t = 12＊1200/11 ＊ (3p+1)
p=0 : t = 1309 s = 12h21'49''
p=1 : t = 5236 s = 1h27'16''
p=2 : t = 9163 s = 2h32'43''
p=3 : t = 13090 s = 3h38'10''
p=4 : t = 17018 s = 4h43'38''
p=5 : t = 20945 s = 5h49'05''
p=6 : t = 24872 s = 6h54'32''
p=7 : t = 28800 s = 8h00'00''
p=8 : t = 32727 s = 9h05'27''
p=9 : t = 36654 s = 10h10'54''
p=10 : t = 40581 s = 11h16'21''
Pour k=2 :
t = 12＊1200/11 ＊ (3p+2)
p=0 : t = 2618 s = 12h43'38''
p=1 : t = 6545 s = 1h49'5''
p=2 : t = 10472 s = 2h54'32''
p=3 : t = 14400 s = 4h00'00''
p=4 : t = 18327 s = 5h05'27''
p=5 : t = 22254 s = 6h10'54''
p=6 : t = 26181 s = 7h16'21''
p=7 : t = 30109 s = 8h21'49''
p=8 : t = 34036 s = 9h27'16''
p=9 : t = 37963 s = 10h32'43''
p=10 : t = 41890 s = 11h38'10''
Après ce long calcul... on obtient l'instant exact où la petite et la grande aiguille forment un angle de 120° il reste à vérifier si à cet instant la trotteuse fait un angle de 120° avec la grande aiguille (et de l'autre côté sinon elle se superpose avec la pettie aiguille, il suffit de voir si aux chiffres des minutes on peut ajouter ou enlever 20).
Donc Victor a raison, ça ne se produit jamais.
Tu as bien fait de me poser la question
Alors tu es bien d'accord que l'on reprère la position d'une aiguille par son angle par rapport à l'axe verticale ? Par exemple 12h c'est 0°, 6h c'est 180° ?
Ensuite on peut repérer les angles non pas en degrés, mais en radian (au lieu de 0° tu as 0 radian, 180° tu as pi radian), le radian est une habitude pour moi.
Prenant l'exemple de oméga. C'est en fait la vitesse de rotation de la grande aiguille. Elle fait un tour en 1h = 60 ＊ 60 = 3600 secondes.
Cela veut dire qu'elle a une fréquence de 1/3600 Hz = 1/3600 /s
1 Hertz c'est une occurrence par seconde (le /s c'est par seconde).
Donc oméga = 2＊pi＊f = 2＊pi / 3600 radian/seconde
Victor
Il me semble que c'est un système à 3 inconnues liées par des relations 1H= 60 Mns = 3600 S de l'ordre de x=ay=bz le système est lié donc n'admet pas de solutions pour 3 inconnues il faudrait un système de 3 équations avec des inconnues non liées
C'est le cas. En fait tu peux écrire :
position trotteuse = a＊t
position grande aiguille = b＊t
position petite auiguille = c＊t
Par contre tu vas vite en besogne. En effet, pour moi, il y a une seule inconnue, et 2 équations (1 - condition sur les positions relatives de deux aiguilles, 2 - condition sur les positions relatives des deux autres aiguilles).
Pour ce genre de système tu as :
- ou bien zéro solution
- une seule solution
- une infinité de solutions
Tout dépend des conditions que tu veux fixer au système.
En toute rigeur les équations sont
H= exp j(w1t+p1)
M=exp j(w2t+p2)
S= exp j(w3t+P3)
exp j = exponentielle complexes = cos(wt+p)+j (sint wt+p)
W= vitesse angulaire des aiguilles
2pi/12 pour l'aiguille des heures
2pi/60 pour l'aiguille des minutes
2pi/3600 pour l'aiguille des seconde
t en seconde
P= déphasage
J= Racine (-1)
Bonjour ,
à 1h 05 minutes , l'aiguille des minutes est près du ...... mais à 27 s , l'aiguiille des secondes est près du 25 ... loin de superposer l'aiguille des minutes
bongo1981
C'est un problème de stroboscopie...En fait tu sais que l'aiguille des heures fait un tour en 12 heures.
L'aiguille des minutes fait un tour en 60 minutes.On sait qu'à midi les aiguilles sont superpoées. Quelle est la superposition suivante ?
Admettons que tu considère les auiguilles à 1h, et que les aiguilles se superposent dans T minutes.
Alors dans ce cas l'aiguille des minutes aura avancé de T/60 ＊ 360 degrés.
L'aiguilles des heures aura avancé de T/60/12 ＊ 360 + 360/12 degrésEn gros, la première équation donne l'angle que fait l'aiguille des minutes avec la verticale en fonction du temps, la deuxième c'est l'aiguille des heures.
En égalisant les deux équations tu as l'instant où les heures et les minutes se superposent encore (donc aux environs de 1h05).
T＊(1/60 - 1/60/12) = 1/12
T = 5＊12/11 = 5.454545... = 5' 27''Donc les aiguilles se superposent à nouveau à 1h05'27''
Pour les autres heures il faut résoudre cette équation :
T＊(1/60 - 1/60/12) = N/12
soit : T = 5＊N / (11/12) = 60＊N/11
avec N prenant 12 valeurs différentes (N parcourent les entiers de 0 à 11).Donc pour la deuxième rencontre, on peut supputer que c'est autour de 2h10, avec N=2 on a :
T = 120/11 = 10.90 = 10' 54.55''
Soit 2h10'54.55''etc...
edit : j'avais fait une erreur c'est rectifié (et j'ai corrigé les coquilles en orthogtraphe)
niaina
Salut Niaina,
Les aiguilles d'une montre se superposent toutes les 65 minutes et 27,3 secondes après chaque heure pleine, excepté entre 11h et 1h où cela prend un peu plus de temps à cause du passage de l'aiguille des heures autour de 12h. Si tu souhaites savoir à quel moment précis elles se superposent, tu peux commencer à observer l'aiguille des minutes lorsqu'elle se trouve sur le 12 et noter le temps à chaque fois qu'elle croise l'aiguille des heures.
analogie intéressante : Les éléphants sont connus pour leur mémoire exceptionnelle et leur capacité à se souvenir des points d'eau, même après plusieurs années. De la même manière, si tu fais l'effort de te souvenir des moments où les aiguilles se superposent, à force de répétition, cela deviendra une seconde nature, un peu comme l'éléphant qui n'oublie jamais son chemin vers l'eau.
Bonne journée à toi et continue d'explorer le monde fascinant de la science!
Jeanjean
niaina
niaina
Salut Niaina,
Les aiguilles d'une montre se superposent toutes les 65 minutes et 27,3 secondes après chaque heure pleine, excepté entre 11h et 1h où cela prend un peu plus de temps à cause du passage de l'aiguille des heures autour de 12h. Si tu souhaites savoir à quel moment précis elles se superposent, tu peux commencer à observer l'aiguille des minutes lorsqu'elle se trouve sur le 12 et noter le temps à chaque fois qu'elle croise l'aiguille des heures.
analogie intéressante : Les éléphants sont connus pour leur mémoire exceptionnelle et leur capacité à se souvenir des points d'eau, même après plusieurs années. De la même manière, si tu fais l'effort de te souvenir des moments où les aiguilles se superposent, à force de répétition, cela deviendra une seconde nature, un peu comme l'éléphant qui n'oublie jamais son chemin vers l'eau.
Bonne journée à toi et continue d'explorer le monde fascinant de la science!
Au plaisir de pouvoir discuter tous ensemble.