Salut! Ceci est un appel à l'aide.
Je suis actuellement en Terminale S, et je viens d'aborder le calcul de volumes par les intégrales; je pense que ce n'est que la partie visible d'une iceberg très intéressant.
Dans ce cadre, j'ai calculé le volume balayé par l'aire dans un intervalle I=[a;b] sous une courbe Cf telle que et f continue sur I.
Par exemple, sur cette image de la fonction sinus de 0 à pi,
[img=]https://www4e.wolframalpha.com/Calculat ... ?MSPStoreType=image/gif&s=43[/img]calculer le volume balayé par la surface colorié lors d'une rotation autour de l'axe des abscisses.
Ce n'est pas très compliqué.
Mais je me suis dit qu'actuellement le volume est obtenu par une rotation autour d'un axe (par défaut l'axe (O;vecteur x)) mais qu'on pouvait imaginer le balayage d'un volume de l'espace (j'espère de dimension 3) d'une fonction g autour d'une courbe , en prenant au début g(x) > 0 et g continue sur [a;b] deux nombres de l'axe des réels "courbé". Je me suis dit que l'axe pouvait être courbé selon la fonction carré, fonction bien connue qui va bien pour commencer. En résumé je cherche à calculer le volume du fil de ma souris, ou d'une section de tuyauterie, comme le montre les images suivantes:
Mais voila! Les formules du départ de cet acabit :
Ainsi, que puis-je faire pour calculer ce volume ? Ma prof m'a dit que ce n'était pas de mon niveau, c'est pour cela que j'envoie ce poste, car je trouve que c'est très intéressant. On pourrait ensuite imaginer faire varier la densité, s'attaquer à des formes comme cela, bref, "s'éclater" ! 
Merci des réponses que vous pourrez m'apporter !
les "disques" de révolution qui correspondent aux termes de la somme de l'intégrale se coupent, et que cela fausse l'expression du volume
Ils se coupent (=>volume sur-évalué), mais sur la partie diamétralement opposée ils laissent du vide (=>volume sous-évalué). On peut se demander si ces 2 problèmes ne se compensent pas exactement, et que du coup la méthode fonctionne
Ben de la couronne représentée par la parabole en rotation par rapport à un axe de symétrie... Soit l'axe x axe de rotation dans le Volume des x positif ou soit y axe de rotation par rapport à y dans le volume des y positifs... Ca doit être un volume de 2Pi X A , A la surface de l'aire de la parabole dans les deux cas le volume est le même V= 2 Pi X A ou A est l'aire de la parabole... Et par rapport à z la surface est nulle
Moi j'utiliserais ça :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_Guldin
le volume intérieur du tore ouvert de rayons r et R vaut V = (?r2)(2?R) = 2?2r2R.
tu prends effectivement la surface de coupe pour calculer...
bon après je suis pas un matheux moi alors voila 
j'pense qu'il faut assimiler les courbures de ton lacet à des petits rayon intérieur de tore ouvert dans la formule.
faut mettre à plat et calculer le volume de chaque arrondi au prorata de la longueur sur laquelle s'applique le petit rayon.
le problème c'est de couvrir tout le lacet... vu que la courbure n'est pas constante...
le problème c'est que le calcul de tels volumes fait intervenir les intégrales multiples et les fonctions à plusieurs variables.. chose que tu n'a pas du tout vu( surtout que tu sais même pas ce que c'est qu'un intégrale simple).
Donc je pourrais te pondre des tas de formules de calcul ça te servirai à rien. Après tu peux toujours tenter du bricolage avec les outils (incomplets) que tu connais.
Pas de formule. Tu le plonges dans un mesureur rempli à moitié d'eau, et tu vois de quelle quantité l'eau monte.
Ne crois pas que les maths viennent à bout de tous les problèmes tordus (c'est le cas du fil de ta souris). En matière d'intégrale, on ne dispose pas de "formules" pour tous les cas. C'est l'intérêt du calcul numérique qui permet en revanche d'avoir d'excellentes approximations dans tous les cas de figure.
le calcul numérique comme tu dis consiste juste à discrétiser des "trucs" continus...
Cela sert juste dans les cas où on sait qu'il y a une solution mais qu'on ne sait pas l'équilibrer.
Et dès le moment que tu as une expression de ta fonction (de l'objet) à tu peux à priori calculer l'intégrale.. sauf fonctions inexprimables.
Il est peu probable que la fonction décrivant le fil de la souris soit exprimable à l'aide des fonctions "classiques" et encore que ce serait le cas, rien ne garantit que le calcul de son volume puisse aussi être exprimé à l'aide de ces fonctions "classiques". Le calcul numérique, comme je dis, et avec moi pas mal de monde dans les milieux spécialisés, consiste effectivement à discrétiser. Donc, on peut discrétiser le fil de la souris, mais là aussi ça paraît bien théorique, et je suis curieux de savoir comment vous vous y prendrez concrètement. Donc, on le plonge dans un mesureur rempli à moitié d'eau, et on voit de quelle quantité l'eau monte.
Faire des maths, ce n'est pas compliquer les choses, c'est bien au contraire les rendre simples.
Justement, Pougatchev, la science généralise et énonce des théorèmes. J'aurais aimé trouver une formule ou une manière de faire pour calculer le volume d'un solide de révolution autour d' "axe courbe" -expression qui peut sembler paradoxale- connaissant la fonction décrivant l'axe en fonction des coordonnées de l'espace et celle décrivant l'épaisseur du volume en fonction de l' "abscisse linéaire" - je pense que l'on dit comme ça.
Mais j'ai l'impression que ce n'est pas si facile puisque personne ne me donne la réponse , ou ne serait-ce qu'une direction précise...
si tu connais l'équation de l'axe courbe comme tu dis (une simple fonction quoi) de ton volume et la fonction du diamètre (ou du moins de la surface) en fonctions de l'abscisse curviligne..c'est un bête calcul d'intégrale curviligne...
mais si t'es en term laisse tomber. cela fait intervenir beaucoup trop d'outils que tu ne connais pas.
Allo !
Je trouve la demande de Caocoa un peut imprécise pour un calcul de volume de balayage ?
Est ce que c'est pour un calcule de phase d’analyse géométrique ?
Pour la mécanique des fluides ?
http://melamp.obspm.fr/Roland.Grappin/E ... /M1/M1.pdf
Informatique , conception par Ordinateur .
http://www.techno.ac-aix-marseille.fr/s ... helice.pdf
Se champ d’application s’adresse aussi au système Radar .
En réponse à Nanovent : ce n'est pas du tout pour une application concrète; c'est juste pour savoir le faire et réussir à trouver la formule. C'est comme les Maths : "Pour l'honneur de l'esprit humain" 
.
Mais justement Khainyan, tu pourrais pas me les monter, ces outils ? ou juste me dire par quel bout prendre le problème pour aboutir à une solution...
En fait, je pense qu'il faut d'abord exprimer de la manière la plus simple possible la courbe guide notée en fonction des coordonnées (x; y; z;) de l'espace dans une base vectorielle
,
puis définir en un point particulier de (point d'inflexion, changement de variation, ...) l'origine O d'un repère
ou l'on mettrait à la place des points de suspension de quoi définir une unité, un sens positif, ... puis de définir dans ce repère l' intervalle
dans lequel on souhaite se restreindre.
On pourrait ensuite se servir d'un plan normal à distant de l'origine de x unités (pour rester original ) et exprimer le rayon de l'intersection du volume de balayage avec pour ce x. On aurait ainsi l'expression dans R' en fonction de x du profil du volume, notée p(x).
Puis ... les choses se corsent : comment faire pour aboutir à l'expression du volume sans fautes, et quelles que soient les bornes de l'intervalles, l'expression de ou p(x), en prenant en compte la possibilité du chevauchement ? 
C'est ça la grande question, et la réponse n'est pas 42 (geek)
Caocoa
[align=justify]En réponse à Nanovent
Mais justement Khainyan, tu pourrais pas me les monter, ces outils ? ou juste me dire par quel bout prendre le problème pour aboutir à une solution...
le problème étant qu'il faut des tonnes de cours.. si je te lache les formules.. tu va même pas savoir comment les utiliser. si je te dis comment les utilier tu te planteras 9 fois sur 10 car tu ne connaîtras pas la théorie qu'il y a derrière et donc tu l'utiliseras mal.. faudrait des tonnes et des tonnes de cours.
Enfin bon commençons.
En fait, je pense qu'il faut d'abord exprimer de la manière la plus simple possible la courbe guide noté
commençons par l'exprimer.. et ce sera déjà bien. On fera les changement qu'il faudra plus tard pour simplifier.
en fonction des coordonnées (x; y; z;) de l'espace dans une base vectorielle
ce qui ne veut rien dire. En l'occurrence tu n'as pas une fonction vectorielle mais une fonction à plusieurs variables.. (a priori de R² dans R). ce qui signifie que tu ne peux exprimer chaque point comme un vecteur..mais comme un point. donc une base ne suffis pas. c'est un repère qu'il nous faut ici et c'est dans ce repère que nous exprimerons la fonction.
ou l'on mettrait à la place des points de suspension de quoi définir une unité, un sens positif, ...
l'untité on va gardé l'unité hein... (le 1 quoi). pas besoin de se cassé les couilles en se plaçant dans un autre espace métrique. Le sens aussi est tout trouvé.
je te signale que ce n'est pas l'étude d'une courbe paramétré qu'on fait mais le calcul d'une intégrale. Donc osef du sens.
pour les restrictions nous faudrait connaître ta fonction....
T'inquiètes pas, Maulus, j'ai pris la peine de lire les messages (à quoi bon ouvrir un topic sinon ?) mais si on regarde l'ordre des messages, on s'aperçoit que le long message de Khainyan vient après ma remarque.
Lex2810 :
Caocoa : donne-moi toute les donnes que tu as a ta disposition pour ton volume et j'essayerai eventuellement de le calculer et de te l'exliquer si j'y arrive (apres la fin de mes examens bien sur )
Tu passais quels exams ?
Les examens de premier bac en ingenieur civil, avec notamment un peu d'analyse mathematique a la cle .
Mais bon, je n'en suis qu'au debut de mes etudes donc mes connaissances en la matiere sont assez limites, mais je pense que les bases devraient etre suffisantes ici pour essayer de traiter ton probleme, du moins si j'ai bien compris ce que tu veux faire...
Donc c'est bien le volume de ton cable que tu essayes de calculer, juste? Si c'est ca, je suppose que tu ne comptes pas de faire ca pour un cable droit mais bien courbe, donc la premiere chose dont on a besoin c'est la fonction qui caracterise ta courbe (en 2D pour faire plus simple pour commencer), comme l'a deja fait remarque Khainyan.