Addition - Définition et Explications

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Extensions

D'autres structures mathématiques étendent certains ensembles de nombres et sont munis d'une opération binaire qui prolonge l'addition usuelle, mais qui ne possède pas toujours toutes ses propriétés.

Fonctions

Si les applications définies sur un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise...) donné commun et à valeur numérique (Une information numérique (en anglais « digital ») est une information ayant été quantifiée et échantillonnée, par opposition à une information dite...) peuvent s'additionner simplement composante par composante comme des vecteurs, il n'en est pas de même pour les fonctions qui ont un domaine de définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) propre.

Étant donné deux fonctions f et g définies sur les domaines respectifs Df et Dg (par exemple des intervalles réels), la fonction f + g a pour domaine l'intersection D_{f+g} = D_f \cap D_g et pour expression l'addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la réunion de quantités ou l'adjonction de grandeurs extensives de même...) usuelle (f + g)(x) = f(x) + g(x).

Cette addition est associative et commutative. Son neutre est la fonction définie partout et constamment nulle, mais l'addition d'une « fonction opposée » ne permet pas d'étendre le domaine de définition. Par exemple, la somme des fonctions x\mapsto \sqrt{x} et x\mapsto -\sqrt{x} est la fonction nulle définie seulement sur les réels positifs.

Dans certains contextes, comme dans l'addition des fonctions méromorphes, l'effacement des singularités permet cependant d'évacuer le problème du domaine de définition de la somme.

Variables aléatoires indépendantes

En probabilités élémentaires, étant données deux variables aléatoires indépendantes ne pouvant prendre qu'un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) fini de valeurs, l'addition se calcule en construisant un tableau (Tableau peut avoir plusieurs sens suivant le contexte employé :) avec une ligne par valeur de la première variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un prédicat ou un algorithme. En statistiques, une variable...) et une colonne par valeur de la seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La seconde est une unité de mesure du...) variable.

Chaque case du tableau est remplie avec d'une part la somme des valeurs de la ligne et de la colonne correspondante, d'autre part le produit des probabilités correspondantes. Ensuite, il suffit pour chaque valeur apparaissant dans le tableau de faire la somme des probabilités des cases qui la contiennent.

En probabilités continues, la densité de probabilité (En théorie des probabilités ou en statistiques, une densité de probabilité est une fonction qui permet de représenter une loi de probabilité sous forme d'intégrales.) d'une somme de deux variables aléatoires indépendantes est donnée (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction d'affaire, d'un événement, etc.) par le produit de convolution (En mathématiques, le produit de convolution de deux fonctions réelles ou complexes f et g se note généralement «  » et s'écrit :) des densités de probabilités initiales.
f_{X+Y} = f_X * f_Y \colon x \mapsto \int f_X(t)f_Y(x-t)\mathrm dt.

Cette présentation s'étend aux variables aléatoires dont la fonction de densité (La densité ou densité relative d'un corps est le rapport de sa masse volumique à la masse volumique d'un corps pris comme référence. Le corps de référence est l'eau...) est une distribution.

Cette opération est associative et commutative. Le neutre est la variable aléatoire (Une variable aléatoire est une fonction définie sur l'ensemble des résultats possibles d'une expérience aléatoire, telle qu'il soit possible de déterminer la probabilité pour qu'elle prenne...) toujours nulle, mais seuls les nombres, représentés par les variables aléatoires constantes admettent des opposés. Il n'existe pas d'opposé ( En mathématique, l'opposé d’un nombre est le nombre tel que, lorsqu’il est à ajouté à n donne zéro. En botanique, les organes d'une plante sont dits opposés lorsqu'ils sont insérés au même...) aux variables aléatoires non constantes : elles sont d'étendue strictement positive, or l'étendue d'une somme est la somme des étendues.

Limites réelles

Les limites de suites ou de fonctions à valeur réelle peuvent être prises dans la droite continuée \overline{\R} = \R \cup \left\{-\infty , +\infty\right\}. L'addition des nombres peut alors s'étendre partiellement aux termes infinis. Pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) x réel :

x+(+\infty) = (+\infty)+x = (+\infty)+(+\infty) = +\infty, et
x+(-\infty) = (-\infty)+x = (-\infty)+(-\infty) = -\infty.

Cette opération garde des propriétés de commutativité et d'associativité mais n'est pas définie pour les couples (-\infty ; +\infty) et (+\infty ; -\infty).

Selon les cas, la somme de deux suites ou fonctions admettant des limites infinies opposées peut avoir une limite finie, infinie ou pas de limite du tout.

Cette extension de l'addition est utilisée notamment en théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative,...) de la mesure pour satisfaire l'additivité de la mesure sur des espaces de mesure infinie.

Ordinaux et ensembles ordonnés

La classe des ordinaux étend l'ensemble des entiers naturels par les nombres transfinis. L'addition s'étend ainsi en une opération sur les nombres ordinaux qui est associative mais non commutative. Par exemple, le premier ordinal infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose...), noté ω, vérifie la relation 1 + ω = ω mais ω < ω + 1.

L'élément 0 reste neutre pour l'addition mais il n'y a pas d'ordinal négatif, bien que l'on puisse définir une différence entre deux ordinaux.

Cette opération s'étend aux ensembles ordonnés en général, l'addition de deux ensembles ordonnés (E, \le) et (F, \le) ayant pour résultat l'union disjointe E \sqcup F dans lequel l'ordre des éléments est préservé à l'intérieur de chaque ensemble de départ et tous les éléments de E sont inférieurs à tous les éléments de F.

Nombres surréels

Un nombre surréel est une généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de concepts ou d'objets en négligeant les détails de façon à ce qu'ils puissent...) du concept de nombre sous la forme d'un couple d'ensembles s'écrivant X = \left\{ X_L | X_R \right\}, dans lequel chaque élément de l'ensemble de gauche est plus petit que tout élément de l'ensemble de droite.

L'addition se formule alors de manière récursive par

X+Y = \left\{ X_L+Y \cup X+Y_L | X_R+Y \cup X+Y_R \right\}

avec A+Y = \left\{ a+Y / a\in A \right\} et X+B = \left\{ X+b / b\in B \right\}.

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