Addition - Définition et Explications

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Autres additions

Addition vectorielle

Vecteurs d'un espace affine

Addition de deux vecteurs

Étant donnés quatre points A, B, C, D d'un espace affine (Historiquement, la notion d’espace affine est issue du choc dû à la découverte de nouvelles géométries parfaitement cohérentes, mais différant de celle d'Euclide par l'axiome...) tel que le plan ou l'espace euclidien (En mathématiques, un espace euclidien est un objet algébrique permettant de généraliser de façon naturelle la géométrie traditionnelle...), l'addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la réunion de quantités ou l'adjonction de grandeurs extensives de même nature, comme les longueurs, les...) des deux vecteurs \overrightarrow{AB} et  \overrightarrow{CD} se construit en définissant un point (Graphie) E tel que \overrightarrow{BE} = \overrightarrow{CD} (en traçant le parallélogramme (Un parallélogramme, en géométrie, est un quadrilatère (convexe) dont les côtés sont parallèles deux à deux ; c'est un trapèze particulier.) BCDE).
Le vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer un exemple de vecteur, à...) somme \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} s'identifie alors au vecteur \overrightarrow{AE}.

L'addition de vecteurs satisfait toutes les propriétés de l'addition numérique (Une information numérique (en anglais « digital ») est une information ayant été quantifiée et échantillonnée, par...). Son neutre est le vecteur nul et l'opposé ( En mathématique, l'opposé d’un nombre est le nombre tel que, lorsqu’il est à ajouté à n donne zéro. En botanique, les organes d'une plante...) d'un vecteur est un vecteur de même direction et même norme (Une norme, du latin norma (« équerre, règle ») désigne un état habituellement répandu ou moyen considéré le plus souvent comme une règle à...) mais de sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant...) opposé.

Lorsque les vecteurs sont définis sur une même droite munie d'un repère, l'addition des vecteurs s'identifie à celle des mesures algébriques.

Coordonnées et composantes

Les coordonnées des vecteurs dans un repère cartésien permettent de traduire l'addition vectorielle en une succession d'additions de nombres. En effet, si deux vecteurs du plan ont pour coordonnées respectives (x;y) et (x';y'), le vecteur somme aura pour coordonnées (x + x';y + y').

Dans l'espace usuel, l'addition est représentée par l'opération sur les triplets de coordonnées (x;y;z) + (x';y';z') = (x + x';y + y';z + z').

Le principe de l'addition terme à terme est repris pour d'autres structures mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations. Les...) telles que l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une...) des n-uplets de nombres et les suites : (x_1, x_2, x_3, \dots)+(y_1, y_2, y_3, \dots) = (x_1+y_1, x_2+y_2, x_3+y_3, \dots).

Les matrices de même taille et les applications à valeur numérique s'additionnent également de cette manière.

Addition avec modulo ( En arithmétique modulaire, on parle de nombres congrus modulo n Le terme modulo peut aussi être associé à d'autres formes de congruence En informatique,...)

Addition modulo 5
+ 0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4
1 1 2 3 4 0
2 2 3 4 0 1
3 3 4 0 1 2
4 4 0 1 2 3

Puisque la parité d'une somme ne dépend que de la parité des opérandes, il peut être défini une addition sur les parités.

+ pair impair
pair pair impair
impair impair pair

Cette opération se généralise pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) entier strictement positif m en une addition modulo m sur les chiffres de 0 à m − 1, dans laquelle chaque nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) est remplacé par le reste de sa division (La division est une loi de composition qui à deux nombres associe le produit du premier par l'inverse du second. Si un nombre est non nul, la fonction "division par ce nombre" est la...) euclidienne par m.
L'addition sur les parités est alors représentée par l'addition modulo 2, où les nombres pairs sont remplacés par 0 et les nombres impairs par 1.

Addition booléenne

L'addition booléenne est l'écriture du connecteur logique (La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος), terme inventé par Xénocrate signifiant à la fois raison, langage, et...) « OU » avec les chiffres 0 pour FAUX et 1 pour VRAI. Elle est donc donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un...) par la table d'addition suivante :

+ 0 1
0 0 1
1 1 1

L'opération est associative et commutative, l'élément 0 est neutre mais l'élément 1 n'a pas d'opposé.

Addition géométrique sur une courbe cubique (En mathématiques, une courbe cubique est une courbe plane définie par une équation du troisième degré)

Addition de deux points d'une cubique, avec P0 comme élément neutre fixé

Sur certaines courbes, on peut définir une addition géométriquement. C'est possible en particulier sur des courbes cubiques, c'est-à-dire des courbes planes définies par une équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à...) du 3e degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :). Plus précisément, en appelant x et y les coordonnées dans le plan réel, les points de la courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et les cercles sont des courbes.) sont les points P dont les coordonnées x,y vérifient une équation F(x,y) = 0, pour un polynôme (En mathématiques, un polynôme est la combinaison linéaire des puissances d'une variable, habituellement notée X. Ces objets sont largement utilisés en pratique, ne serait-ce que parce qu'ils donnent localement une valeur approchée de toute...) F du troisième degré à coefficients réels donné. On suppose aussi que la courbe n'a pas de points singuliers, c'est-à-dire ici de points de rebroussement ou de points doubles ; la tangente est donc bien définie en chaque point. Pour uniformiser les constructions, on rajoute aussi un point à l'infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui...).

Soit maintenant deux points quelconques de la courbe, P et Q. La droite qui les joint recoupe la courbe en un troisième point R (si P = Q, on prend comme droite les joignant la tangente en P). Ce procédé définit bien une opération binaire sur la courbe. Elle n'a pas encore les propriétés attendues d'une addition : par exemple, il n'y a pas d'élément neutre. Pour y remédier, on fixe un point au choix sur la courbe, qu'on note P0, et on considère la droite passant par P0 et R : elle coupe encore la cubique en un troisième point. C'est ce point qu'on appelle 'somme de P et Q' (et on le note P + Q).

Le point choisi P0 est l'élément neutre (le 'zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr, d’abord transcrit zefiro en italien) est un symbole marquant une...)') pour cette opération. Quant à l' 'opposé' d'un point P, c' est le troisième point d'intersection avec la courbe de la droite passant par P et P'0, où P'0 est le troisième point d'intersection avec la courbe de la tangente à la courbe en P0.

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