Produit de convolution
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En mathématiques, le produit de convolution de deux fonctions réelles ou complexes f et g se note généralement " \ast " et s'écrit :

(f\ast g) (x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x-t) \cdot g(t) \cdot dt = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \cdot g(x-t) \cdot dt

On peut considérer cette formule comme une généralisation de l'idée de moyenne (La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de quantités : elle exprime la grandeur qu'auraient chacun des membres de l'ensemble s'ils...) mobile.

Pour que cette définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) ait un sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution...), il faut effectuer certaines hypothèses sur f et g, par exemple si ces deux fonctions sont sommables leur produit de convolution (En mathématiques, le produit de convolution de deux fonctions réelles ou complexes f et g se note généralement «  » et s'écrit :) est défini pour presque tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) x et est lui-même sommable.

Propriété du produit de convolution

  • Le produit de convolution est commutatif.

(f\ast g) (x)  \stackrel{\mathrm {def.}}{=}  \int_{-\infty}^{+\infty} f(x-t) \cdot g(t) \cdot dt = \int_{-\infty}^{+\infty} f(T) \cdot g(x-T) \cdot d(x-T) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(T) \cdot g(x-T) \cdot dT \stackrel{\mathrm {def.}}{=}  (g\ast f) (x)

Où T=x-t, soit t=x-T.

  • Le produit de convolution est distributif

(f\ast (g+h)) (x) \stackrel{\mathrm {def.}}{=}  \int_{-\infty}^{+\infty} f(x-t) \cdot (g(t)+h(t)) \cdot dt = \int_{-\infty}^{+\infty} [f(x-t) \cdot g(t)+ f(x-t) \cdot h(t)] \cdot dt

= \int_{-\infty}^{+\infty} f(x-t) \cdot g(t) \cdot dt + \int_{-\infty}^{+\infty} f(x-t) \cdot h(t) \cdot dt \stackrel{\mathrm {def.}}{=} (f\ast g)(x) + (f\ast h) (x)
  • Le produit de convolution correspond à la multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division .) des transformées de Fourier des fonctions
f\ast g = \mathcal{F}^*\left(\mathcal{F}(f)\cdot\mathcal{F}(g)\right)

\mathcal{F} désigne la transformation de Fourier et \mathcal{F}^* la transformation de Fourier inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un élément y tel que x·y = y·x = 1,...). L'intérêt principal du calcul du produit de convolution par transformées de Fourier est que ces opérations sont moins coûteuses en temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) pour un ordinateur (Un ordinateur est une machine dotée d'une unité de traitement lui permettant d'exécuter des programmes enregistrés. C'est un ensemble de circuits électroniques permettant de manipuler des données sous...) que le calcul direct de l'intégrale (Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé intégration. Une intégrale est donc composée d'un intégrande (la fonction à intégrer) et d'un opérateur que l'on appelle...).

Utilisation du produit de convolution

Le produit de convolution est utilisé dans le traitement du signal ( Termes généraux Un signal est un message simplifié et généralement codé. Il existe sous forme d'objets ayant des formes particulières. Les signaux lumineux sont employés...), lorsque l'on utilise des filtres (passe-bas, passe-haut, passe-bande). Si l'on a un signal entrant S(t) et un élément filtrant ayant une fonction de transfert (Une fonction de transfert est une représentation mathématique de la relation entre l'entrée et la sortie d'un système linéaire...) H(t) alors le signal de sortie Ss(t) sera la convolution de ces deux fonctions :

S_s(t)=S\ast H

Une autre utilisation des produits de convolution se situe dans le domaine de la mécanique quantique (La mécanique quantique est la branche de la physique qui a pour but d'étudier et de décrire les phénomènes fondamentaux à...), où l'on réalise des produits de convolution à partir des fonctions d'onde (Une onde est la propagation d'une perturbation produisant sur son passage une variation réversible des propriétés physiques locales. Elle...) bra et ket.

De manière générale, on peut écrire les équations différentielles linéaires correspondant à de nombreux problèmes physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et ancien, la physique désigne la connaissance de la...) sous la forme du produit de convolution d'un opérateur (Le mot opérateur est employé dans les domaines :) par une fonction décrivant le système. On peut alors résoudre de manière générique le problème en déterminant l'inverse de convolution de l'opérateur (appelé fonction de Green). Joseph Fourier a été à l'origine de cette méthode lorsqu'il a cherché à résoudre l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer...) de la chaleur (Dans le langage courant, les mots chaleur et température ont souvent un sens équivalent : Quelle chaleur !). Sa formulation (La formulation est une activité industrielle consistant à fabriquer des produits homogènes, stables et possédant des propriétés spécifiques, en mélangeant différentes...) moderne a du attendre l'arrivée de la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une...) des distributions introduite par Laurent Schwartz.

Le produit de convolution se généralise à de nombreuses algèbres d'un groupe, par exemple aux algèbres d'un groupe fini. Si de plus le groupe est abélien, alors la théorie de l'analyse harmonique (Dans plusieurs domaines, une harmonique est un élément constitutif d'un phénomène périodique ou vibratoire (par exemple en électricité : les « courants harmoniques », qui sont des perturbations du courant...) sur un groupe abélien fini permet d'établir tous les résultats classiques du produit de convolution.

Approche vulgarisée

La manière la plus simple de se représenter le produit de convolution consiste à considérer la Fonction δ de Dirac δa(x) ; cette fonction vaut 0 si x ≠ a, et son intégrale vaut 1. Ceci peut sembler à première vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.) bizarre, on peut l'imaginer comme la limite d'une suite de fonctions, des courbes en cloche ou des rectangles ayant toutes la même surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et est souvent abusivement confondu avec sa mesure,...) 1, mais de plus en plus fines (donc de plus en plus hautes) ; lorsque la largeur (La largeur d’un objet représente sa dimension perpendiculaire à sa longueur, soit la mesure la plus étroite de sa face. En géométrie plane, la largeur est la...) des courbes tend vers 0, sa hauteur (La hauteur a plusieurs significations suivant le domaine abordé.) tend vers +∞, mais la surface reste égale à 1. Pour des raisons pratiques, on représente souvent le dirac comme un bâton positionné en a et de hauteur 1.

dirac : limite d'une suite de fonctions
Dirac : limite d'une suite de fonctions

Du fait de sa forme, on appelle aussi parfois un dirac " fonction impulsion ". Le produit de convolution par un dirac δa correspond à une translation de la fonction initiale d'une valeur de a

f \ast \delta_a(x) = f(x-a)


Produit de convolution d'une fonction par un dirac

On voit que δ0 laisse invariant une fonction, c'est l'élément neutre du produit de convolution

f\ast\delta_0(x) = f(x-0)

Si l'on considère maintenant le produit de convolution par une somme pondérée de diracs (α.δa + β.δb), on obtient la superposition (En mécanique quantique, le principe de superposition stipule qu'un même état quantique peut possèder plusieurs valeurs pour une certaine quantité observable (spin,...) de deux courbes dilatées.

produit de convolution d'une fonction par une somme pondérée de deux diracs
Produit de convolution d'une fonction par une somme pondérée de deux diracs

Considérons maintenant une fonction porte Pa,b ; c'est une fonction qui vaut 1/(b-a) entre a et b, et 0 ailleurs (son intégrale vaut 1). Cette fonction peut être vue comme une succession de diracs. La convolution de f par Pa,b va donc s'obtenir en faisant glisser f sur l'intervalle [a;b]. On obtient un " élargissement " de f.

produit de convolution d'une fonction par une fonction porte
Produit de convolution d'une fonction par une fonction porte

Si l'on considère maintenant une fonction quelconque g, on peut voir g comme une succession de diracs pondérés par la valeur de g au point (Graphie) considéré. Le produit de convolution de f par g s'obtient donc en faisant glisser la fonction f et en la dilatant selon la valeur de g.

produit de convolution d'une fonction par une fonction quelconque
Produit de convolution d'une fonction par une fonction quelconque

Notes et références

Bibliographie

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