Soient
un anneau commutatif et E un module sur
contenant l'opération binaire (c'est-à-dire
, est le « produit » de x et y). Si l'opération binaire est bilinéaire, ce qui signifie que pour tous
(éléments du module) et pour tout
(scalaires), ces identités sont vraies :
;
;
,
alors E est une algèbre sur
. On dit aussi que E est une
-algèbre où
est la base de l'algèbre E. L'opération bilinéaire est appelé la multiplication dans l'algèbre E.
Lorsque
est un corps commutatif, E est un espace vectoriel sur
.
Un morphisme entre deux
-algèbres E et F,
est un morphisme pour les lois internes (addition et multiplication) et le produit par des scalaires : f(a+b)=f(a)+f(b), f(ab)=f(a)f(b), et f(ax)=af(x) pour tous
et tout
).
Un morphisme f est un isomorphisme si f est bijective (son inverse est alors automatiquement un morphisme d'algèbres). Deux algèbres E et F sur
sont isomorphes s'il existe un isomorphisme de
-algèbres
.