Algèbre sur un anneau - Définition

Introduction

En mathématiques, une algèbre sur un anneau commutatif est une structure algébrique qui se définit comme suit:

est une algèbre sur l'anneau commutatif , ou une - algèbre, si :

1. (E, +, ·) est un module sur  ;
2. la loi de composition interne ×, de E x E dans E, est bilinéaire.

Définitions

Soient un anneau commutatif et E un module sur contenant l'opération binaire (c'est-à-dire , est le « produit » de x et y). Si l'opération binaire est bilinéaire, ce qui signifie que pour tous (éléments du module) et pour tout (scalaires), ces identités sont vraies :

• ;
• ;
• ,

alors E est une algèbre sur . On dit aussi que E est une -algèbre où est la base de l'algèbre E. L'opération bilinéaire est appelé la multiplication dans l'algèbre E.

Lorsque est un corps commutatif, E est un espace vectoriel sur .

Un morphisme entre deux -algèbres E et F, est un morphisme pour les lois internes (addition et multiplication) et le produit par des scalaires : f(a+b)=f(a)+f(b), f(ab)=f(a)f(b), et f(ax)=af(x) pour tous et tout ).

Un morphisme f est un isomorphisme si f est bijective (son inverse est alors automatiquement un morphisme d'algèbres). Deux algèbres E et F sur sont isomorphes s'il existe un isomorphisme de -algèbres .