Anneau commutatif - Définition
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Remarques générales
La structure interne d'un anneau commutatif est déterminée par la considération de ses idéaux. Tous les idéaux dans un anneau commutatif sont des idéaux des deux côtés (à droite et à gauche), ce qui rend leur utilisation beaucoup plus aisée que dans le cas général.
La structure externe d'un anneau commutatif est déterminée par des considérations d'algèbre linéaire sur cet anneau, c'est-à-dire en étudiant les modules sur cet anneau. Cette étude est sensiblement plus difficile quand l’anneau commutatif n’est pas un corps commutatif et s’appelle habituellement l’algèbre homologique. L’ensemble des idéaux d’un anneau commutatif A peut être considéré comme l’ensemble des A-modules qui sont des sous-ensembles de A.
Les anneaux commutatifs sont parfois caractérisés par les éléments qu’ils contiennent qui ont des propriétés particulières. Un élément neutre pour la multiplication dans un anneau commutatif appelé élément unité, est un élément particulier (habituellement noté 1) tel que pour tout élément a de l’anneau, on ait 1 * a =a. Un anneau commutatif possédant un tel élément s’appelle un anneau unifère, ou parfois anneau unitaire.
Un élément a d’un anneau commutatif unifère est dit inversible s’il possède un symétrique pour la multiplication, c’est-à-dire s’il existe un élément de b de l’anneau (pas nécessairement distinct de a) tel que a*b = b*a = 1. Tout élément non nul d’un corps est un élément inversible. Tout élément d’un anneau local commutatif n’appartenant pas à l’idéal maximal est inversible.
Un élément différent de zéro a d’un anneau commutatif est dit diviseur de zéro, s’il existe un élément non nul b de l’anneau (pas nécessairement distinct de a) tel que a*b = 0. Un anneau commutatif unifère qui ne possède aucun diviseur de zéro est appelé un anneau intègre puisqu’il ressemble d’une certaine façon à celui des nombres entiers.
