Module semi-simple - Définition

Introduction

En mathématiques et plus particulièrement en algèbre, un A-module où A désigne un anneau est qualifié de semi-simple ou de complètement réductible si et seulement s'il est somme directe de facteurs directs, c’est-à-dire de sous-modules qui ne possèdent d'autres sous-modules que l'ensemble nul et le sous-module lui-même.

Les propriétés des modules semi-simples sont utilisées en algèbre linéaire pour l'analyse des endomorphismes, dans le cadre des algèbres semi-simples et pour la théorie des représentations des groupes.

Définitions

Plusieurs définitions sont nécessaires à la compréhension de la notion de module et d'algèbre semi-simple. A désigne un anneau unitaire non nécessairement commutatif et M un A-module sur l'anneau A. K désigne un corps non nécessairement commutatif.

• M est dit simple si et seulement s'il n'admet comme sous-module que l'ensemble nul ou lui-même.

K est un module simple considéré comme un espace vectoriel sur lui-même. L'anneau des entiers Z n'est pas un Z-module simple, en effet tout sous-module n.Z si n est un entier contient le sous-module 2.nZ.

• Soit F un sous-module de M, F est dit facteur direct si et seulement si F admet un sous-module supplémentaire.

Le corps des nombres complexes est un module en tant qu'espace vectoriel réel, R l'ensemble des nombres réels est un facteur invariant.

• Un module M est dit semi-simple si et seulement si tout sous-module est facteur direct.
• Un espace vectoriel E est un module semi-simple. En effet, si (e_i) est une base de E, alors les espaces vectoriels engendrés par un unique élément de la base sont clairement simples, leur somme directe est égale à E.

Enfin une définition est essentielle pour établir la théorie :

• La longueur d'un module M, est la borne supérieure de l'ensemble des entiers n telle qu'il existe une suite strictement croissante au sens de l'inclusion de sous-A-modules de M.

La longueur d'un module correspond un peu à la dimension dans le cas des espaces vectoriels.

Propriétés

Propriétés élémentaires

La définition possède différentes manières de s'exprimer :

• Les trois propositions suivantes sont équivalentes :

(i) M est un module semi-simple.

(ii) M est somme de sous-modules simples.

(iii) Tout sous-module est un facteur direct.

Démontrons ces propositions. Pour éviter l'utilisation du lemme de Zorn M est supposé de la longueur finie dans tout ce paragraphe. La proposition reste vraie sans cette hypothèse.

Un lemme est nécessaire pour établir ces équivalences :

• Si l'hypothèse (ii) de la proposition précédente est vérifiée, c’est-à-dire qu'il existe une suite (S_i) pour i variant de 1 à n de sous-modules simples non nuls dont la somme est égale à M et si N est un sous-module de M, alors il existe un sous-ensemble J de [1, n] tel que N et (S_j) pour j parcourant J soit en somme directe égal à M.

En effet, on remarque tout d'abord que la chaîne C_p des sommes de S_i pour i variant de 1 à p est strictement croissante, elle est donc finie. Définissons J comme le sous-ensemble maximal au sens de l'inclusion de [1, n] tel que N et (S_j) pour j parcourant J soit une somme directe. Soit P la somme directe de N et des (S_j) pour j parcourant J. L'objectif est de montrer que P est égal à M. Pour cela considérons l'intersection de P et de S_i pour i élément de [1, n]. L'intersection est non nulle car sinon J ne serait pas maximal, elle contient S_i car cette intersection est un sous-module et que S_i est simple. P est un sous-module contenant tous les S_i et donc est égal à M, ce qui termine la démonstration.

Démontrons les équivalences de la proposition :

(i) implique (ii) est immédiat.

(ii) implique (iii) est une conséquence directe du lemme.

(iii) implique (i) procédons par récurrence sur la longueur l de M. Si l est égal à 1, le module est simple donc semi-simple. Supposons la propriété vraie à l'ordre p et que l est égal à p + 1. Soit m un élément non nul de M, l'intersection A de tous les sous modules contenant m est un sous-module simple. Comme A est un facteur direct, il existe un sous-module B tel que A et B soit, en somme directe, égal à M. B est un module tel que tout sous-module est un facteur direct et sa longueur est plus petite ou égale à p. B est donc une somme directe de modules simples, l'adjonction du module simple A fournit la somme directe recherchée.

La structure d'un module semi-simple est une somme directe de sous-modules simples, on en déduit :

• Supposons que M ne soit pas semi-simple, alors la somme de tous les sous-modules simples de M est un sous-module semi-simple, c'est le plus grand au sens de l'inclusion.

• Tout sous-module d'un module semi-simple est semi-simple.

Soit S un sous-module de M. Soit P un sous-module de S, il admet un supplémentaire dans M, l'intersection de ce supplémentaire et de S est un supplémentaire de P dans S.

Lemme de Schur

Le lemme de Schur est un lemme technique explicitant la nature des morphismes entre un module semi-simple et un module simple. Il est à la fois simple à exprimer et à démontrer, cependant ses conséquences sont aussi nombreuses que profondes. Ici M désigne un module semi-simple et S un module simple sur A.

• Un morphisme de A dans M est soit nul soit injectif, un morphisme de M dans A est soit nul soit surjectif, si de plus M est simple alors un morphisme est soit nul soit bijectif. Si A est commutatif et si le polynôme minimal du morphisme est scindé, les seuls morphismes de S dans S sont les homothéties.

La démonstration est immédiate, il suffit de remarquer que l'image et le noyau d'un morphisme sont des sous-modules et que les seuls sous-modules d'un module simple sont l'ensemble nul ou le module entier. Dans le cas où le polynôme minimal est scindé, le morphisme m admet une valeur propre v et si Id désigne l'identité alors m - v.Id est non injectif, c'est donc un morphisme nul.

La structure d'un morphisme de modules semi-simples est donc aisée à comprendre, il correspond à une somme directe d'automorphismes de sous-modules simples et de morphisme nul.

Décomposition canonique

La décomposition d'un module semi-simple en sous-modules simples n'est pas unique, pour obtenir une décomposition canonique, il est nécessaire de considérer la relation d'équivalence entre les sous-modules simples donnée par les isomorphismes. Deux modules simples sont en relation si et seulement s'il existe un isomorphisme de module entre eux. Il existe un nombre fini n de classes, sinon une chaîne composée d'un représentant S_i dans chaque classe serait une somme directe de longueur infinie, ce qui est contraire à notre hypothèse. Soit N_i pour i variant de 1 à n la somme des modules d'une classe donnée. La décomposition suivante est canonique :

• Si i est un entier entre 1 et n, N_i est le plus grand sous-module ne contenant que des sous-modules simples isomorphes à S_i et tous ses sous-modules sont isomorphes à S_i. M est somme directe des N_i.

• Avec les notations précédentes les sous-modules N_i sont appelés facteurs isotypiques de M.

Si un module M ne contient que des sous-modules simples isomorphes deux à deux, alors le module M est qualifié d'isotypique.

Cette décomposition se généralise au cas ou la longueur du module n'est pas finie.

Démonstration dans le cas d'une longueur finie :

Montrons dans un premier temps par récurrence sur la longueur de N_i que ce sous-module est somme directe de sous-modules isomorphes à S_i. Si la longueur est égale à un, le module est simple et la conclusion est évidente. Sinon, S_i admet un supplémentaire T_i engendré par des sous-modules isomorphes à S_i. Comme T_i est un module semi-simple car sous-module d'un module semi-simple est semi-simple, l'hypothèse de récurrence permet de conclure que T_i est une somme directe de sous-modules.

Montrons ensuite que tout sous-module simple P de N_i est isomorphe à S_i. Soit (p_j) la famille des projecteurs associés à une décomposition en somme directe de N_i en sous-modules simples isomorphes à S_i. L'image de P par les p_j, d'après le lemme de Schur est soit réduite à l'ensemble nul soit isomorphe à P. Comme P est non réduit à l'élément neutre, il existe au moins un projecteur ayant une image non triviale, ce qui permet de conclure.

Montrons alors que si i et j sont deux entiers compris entre 1 et n, l'intersection de N_i avec N_j est réduit à l'élément neutre. Cette intersection est un sous-module, elle est donc soit nulle soit elle contient un sous-module simple. Si elle contient un sous-module simple, il est à la fois isomorphe à S_i et à S_j, ce qui est impossible, l'intersection est donc réduite à l'élément nul.

Montrons enfin que la somme des N_i est égal à M. Considérons une décomposition de M en sous-modules simples. Ils sont tous isomorphes à un élément de la famille des (S_i). Soit M_i la somme directe de tous les éléments de la décomposition de M isomorphes à S_i. La famille des M_i possède pour somme M, chaque M_i est inclus dans T_i, ce qui permet de conclure.