Algèbre linéaire - Définition et Explications

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Introduction

L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s'intéresse à l'étude des espaces vectoriels (ou espaces linéaires), de leurs éléments les vecteurs, des transformations linéaires et des systèmes d'équations linéaires (théorie des matrices).

Histoire

L'histoire de l'algèbre linéaire (L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s'intéresse...) commence avec René Descartes (René Descartes, né le 31 mars 1596 à La Haye en Touraine (localité...) qui le premier pose des problèmes de géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace...), comme l'intersection de deux droites, sous forme d'équation linéaire (Une équation est dite linéaire quand elle s'exprime à l'aide d'une application linéaire. Elle...). Il établit alors un pont (Un pont est une construction qui permet de franchir une dépression ou un obstacle (cours...) entre deux branches mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide...) jusqu'à présent séparées : l'algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche...) et la géométrie. S'il ne définit pas la notion de base de l'algèbre linéaire qui est l'espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant...), il l'utilise déjà avec succès. Après cette découverte, les progrès en algèbre linéaire vont se limiter à des études ponctuelles comme la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...) et l'analyse des premières propriétés des déterminants par Jean d'Alembert.

Ce n'est qu'au XIXe siècle que l'algèbre linéaire devient une branche des mathématiques à part entière. Carl Friedrich Gauss (Johann Carl Friedrich Gauß (traditionnellement transcrit Gauss en français)...) trouve une méthode générique pour la résolution des systèmes d'équations linéaires, Marie Ennemond Camille Jordan résout définitivement le problème de la réduction d'endomorphisme. En 1843, William Rowan Hamilton (Sir William Rowan Hamilton (4 août 1805 - 2 septembre 1865) est un mathématicien,...) (inventeur du terme vector) découvre les quaternions. En 1844, Hermann Grassmann publie un livre Die lineare Ausdehnungslehre.

Le début du XXe siècle voit la naissance de la formalisation moderne des mathématiques. Les espaces vectoriels deviennent alors une structure générale omni-présente dans presque tous les domaines mathématiques.

Présentation élémentaire

L'algèbre linéaire commence par l'étude de vecteurs dans les espaces cartésiens de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce...) 2 et 3. Un vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet...), ici, est un segment de droite caractérisé à la fois par sa longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus...) (ou norme), sa direction et son sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but...). Les vecteurs peuvent alors être utilisés pour représenter certaines entités physiques comme des déplacements, additionnés entre eux ou encore multipliés par des scalaires (nombres), formant (Dans l'intonation, les changements de fréquence fondamentale sont perçus comme des variations de...) ainsi le premier exemple concret d'espace vectoriel.

L'algèbre linéaire moderne a été étendue pour considérer les espaces de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une...) arbitraire ou infinie. Un espace vectoriel de dimension n est appelé un n-espace. La plupart des résultats obtenus dans les 2-espaces et 3-espaces peuvent être étendus aux espaces de dimensions supérieures. Bien que beaucoup de personnes ne peuvent appréhender correctement un vecteur dans un n-espace, ils sont utiles pour représenter des données (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent...). Les vecteurs étant des listes ordonnées à n composantes, on peut manipuler ces données efficacement dans cet environnement (L'environnement est tout ce qui nous entoure. C'est l'ensemble des éléments naturels et...). Par exemple en économie, on peut créer et utiliser des vecteurs à huit dimensions pour représenter le produit national brut de huit pays (Pays vient du latin pagus qui désignait une subdivision territoriale et tribale d'étendue...).

Intérêt

Sous leur forme la plus simple, les applications linéaires dans les espaces vectoriels représentent intuitivement les déplacements dans les espaces géométriques élémentaires comme la droite, le plan ou notre espace physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la...). Les bases de cette théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer,...) remplacent maintenant la représentation construite par Euclide (Euclide, en grec ancien Εὐκλείδης...) au IIIe siècle av. J.-C.. La construction moderne permet de généraliser la notion d'espace à des dimensions quelconques.

L'algèbre linéaire permet de résoudre tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) d'équations dites linéaires utilisées non seulement en mathématiques ou en mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes...), mais dans de nombreuses autres branches comme les sciences naturelles ou les sciences sociales.

Les espaces vectoriels forment aussi un outil (Un outil est un objet finalisé utilisé par un être vivant dans le but d'augmenter son...) fondamental pour les sciences de l'ingénieur (« Le métier de base de l'ingénieur consiste à résoudre des problèmes de nature...) et servent (Servent est la contraction du mot serveur et client.) de base à de nombreux domaines dans la recherche opérationnelle (La recherche opérationnelle (aussi appelée aide à la décision) peut être...).

Enfin, c'est un outil utilisé en mathématiques pour résoudre des problèmes aussi divers que la théorie des groupes, des anneaux ou des corps, l'analyse fonctionnelle (En mathématiques, le terme fonctionnelle se réfère à certaines fonctions....), la géométrie différentielle (En mathématique, la géométrie différentielle est l'application des outils du...) ou la théorie des nombres (Traditionnellement, la théorie des nombres est une branche des mathématiques qui s'occupe...).

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