Bertrand Russell - Définition

Logique et logicisme

Les contributions de Russell comprennent essentiellement le développement du calcul des prédicats de premier ordre, la défense du logicisme, le paradoxe qui porte son nom et la théorie des types.

Contexte historique

À la fin du XIX^e siècle, Frege, avec sa Begriffsschrift, a fait de la logique une science à part entière. Russell, dans Principles of Mathematics (1903) et Principia Mathematica (à partir de 1910) a lui-même construit de son côté un calcul des propositions, un calcul des classes, et un calcul des relations, d'après une analyse des propositions qui se heurtera toutefois à plusieurs difficultés- dont quelques paradoxes- et l'impossibilité d'analyser l'unité de la proposition.

La proposition en logique

En logique classique, le raisonnement est composé de jugements, les jugements d'idées. Cette conception, soutenue par Descartes et Port-Royal, est héritée d'Aristote et est restée ainsi dominante pendant plus de deux millénaires. La nouvelle logique, initiée par Frege et Russell, pose en revanche la proposition atomique comme base. Dès lors, la logique consiste, d'une part, à combiner ces propositions, d'autre part, à analyser celles-ci en leurs éléments.

Propositions simples et complexes

Le point de départ de la logique, c'est la proposition atomique. Il faut donc commencer par définir le terme « proposition. »

Par proposition, il ne faut pas entendre quelque chose comme telle ou telle phrase, mais, dit Russell, « quelque chose qui peut se dire dans n'importe quelle langue. » Russell considère tout d'abord la proposition comme une réalité en soi, puis il refusera en fin de compte de lui accorder un statut ontologique pour la définir comme « toutes les phrases de même signification qu'une phrase donnée. ».

Toute proposition de la logique est ou une proposition simple, une et inanalysable, ou une proposition complexe, c'est-à-dire résultant de la composition de propositions simples liées par certaines fonctions logiques. La proposition simple est appelée proposition atomique, et la combinaison de proposition atomique est désignée par l'expression proposition moléculaire.

Dans La Philosophie de l'atomisme logique, Russell définit la proposition atomique comme « une proposition qui ne contient qu'un seul verbe. » « Socrate est mortel », « il pleut » sont des propositions atomiques, et elles sont ou vraies ou fausses.

Les propositions moléculaires sont des propositions composées de propositions atomiques liées par des mots qui ont une fonction logique. Ces mots sont des constantes logiques ; par exemple : « et », « si... alors. » Ces mots sont représentés en logique par des symboles. La fonction des constantes logiques est syntaxique et ils sont des opérateurs du calcul propositionnel qui ont une signification déterminée en tant que fonctions de vérité.

Les fonctions de vérité

Par exemple, soit p une proposition, et ~ le symbole de la constante logique sémantiquement équivalente à la négation. ~ est une fonction de vérité si la valeur de vérité d'une proposition moléculaire telle que ~ p peut être déterminée par la valeur de vérité de p, ce qui est en effet le cas : si p est vraie, ~ p est fausse, et si p est fausse, ~ p est vraie.

Les Principia Mathematica établissent la liste suivante de fonctions de vérité :

~ p : la négation

p q : produit logique, ou conjonction

p v q : somme logique, ou disjonction inclusive

p ⊃ q : implication

p ≡ q : équivalence

Ces constantes logiques sont réparties en idées primitives ou définies d'après ces dernières idées primitives. Ainsi :

p ⊃ q =_Df ~ p v q

p q =_Df ~(~ p v ~ q)

p ≡ q =_Df (p ⊃ q) (q ⊃ p)

L'axiomatique logique des Principia Mathematica est donc composée d'idées primitives (p, q, r, etc. ; assertion ; négation, disjonction inclusive) et de ces définitions. Il s'agit ensuite de découvrir les propositions moléculaires valides qui en découlent.

Développements de la logique

Russell a réfuté la théorie naïve des ensembles ainsi que la logique de Gottlob Frege en découvrant un paradoxe qui porte désormais son nom (paradoxe de Russell), dont on peut donner diverses versions en langage ordinaire, dont le paradoxe du barbier (qui rase tous ceux et uniquement ceux, qui ne se rasent pas eux-mêmes --- situation qui engendre la question insoluble: ce barbier se rase-t-il?). Il comprit l'importance de ces paradoxes en 1901, alors qu'il travaillait aux Principes des mathématiques (1903). Pour les résoudre, Russell créa la théorie des types : les espèces logiques sont hiérarchisées et aucune fonction logique ne peut s'appliquer à des objets ayant son propre type.

Le logicisme

Il a écrit avec Alfred North Whitehead les Principia Mathematica (Première édition: 1910—1913; seconde édition, préparée par Russell seul: 1927). Cet ouvrage fondateur a l'ambition d'effectuer la réduction de l'ensemble des mathématiques à la logique, qui constitue le projet logiciste annoncé dans les Principes des Mathématiques. Pour ce faire, les Principia Mathematica procèdent à une axiomatisation et une formalisation de la logique des propositions et des prédicats, et en dérivent les objets et propositions des mathématiques. De fait, seule l'arithmétique élémentaire est abordée --- le tome 4 des Principia qui devait aborder la géométrie ne fut jamais écrit. Les Principia Mathematica furent le premier texte de référence de la nouvelle logique mathématique. Ils furent à la source des travaux des philosophes et logiciens Carnap, Quine et Gödel, notamment.

Il fut lauréat de la Médaille Sylvester en 1934.

L'atomisme logique

« La raison pour laquelle j'appelle ma théorie l'atomisme logique est que les atomes auxquels je veux parvenir en tant que résidus ultimes de l'analyse sont des atomes logiques et non pas des atomes physiques. » (La Philosophie de l'atomisme logique).