Théorie naïve des ensembles - Définition

Introduction

Les ensembles sont d'une importance fondamentale en mathématiques ; en fait, de manière formelle, la mécanique interne des mathématiques (nombres, relations, fonctions, etc.) peut se définir en termes d'ensembles. Il y a plusieurs façons de développer la théorie des ensembles et plusieurs théories des ensembles existent. Par théorie naïve des ensembles, on entend le plus souvent un développement informel d'une théorie des ensembles dans le langage usuel des mathématiques, mais fondée sur les axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo ou de Zermelo-Fraenkel avec axiome du choix dans le style du livre naive set theory de Paul Halmos. Une théorie naïve suppose implicitement qu'il n'y a qu'un univers ensembliste, les preuves d'indépendance, et de cohérence relative, comme l'indépendance de l'hypothèse du continu, ne sont pas de son ressort. On entend également parfois par théorie naïve des ensembles la théorie des ensembles telle que la concevait et développait son créateur, Georg Cantor, qui n'était pas axiomatisée, et que l'on connait par ses articles et sa correspondance. Enfin la théorie naïve désigne parfois une théorie contradictoire à usage pédagogique formée des axiomes d'extensionnalité et de compréhension non restreinte, qui n'a d'autre intérêt que d'introduire les axiomes de la théorie des ensembles, et qui ne doit pas être identifiée à celle de Cantor.

Terminologie

On a semble-t-il commencé à parler de théorie naïve des ensembles (naive set theory) dans les années 1940. Le livre de Paul Halmos, paru en 1960, a popularisé cette terminologie d'abord dans les pays de langue anglaise. Cependant celui-ci a été traduit en français en 1967 sous le nom d’introduction à la théorie des ensembles. La « théorie naïve » est citée dans l'introduction de la Théorie axiomatique des ensembles de Jean-Louis Krivine.

Le développement de la théorie naïve

Il est utile d'étudier à un stade précoce des mathématiques une théorie naïve des ensembles, pour apprendre à les manipuler, car ils interviennent à peu près dans tous les domaines des mathématiques. De plus, une bonne compréhension de la théorie naïve est importante comme première approche de la théorie axiomatique.

Une théorie naïve des ensembles n'est pas contradictoire si elle précise correctement les ensembles qu'elle s'autorise à prendre en considération. Elle peut le faire au moyen de définitions, qui sont des axiomes implicites, étant ainsi comparable aux exposés élémentaires de géométrie.

Elle peut aussi expliciter systématiquement ses axiomes, comme le livre de Paul Halmos : Naive Set Theory. qui expose une théorie s'appuyant sur les axiomes de Zermelo-Fraenkel. Elle peut néanmoins être qualifiée de naïve, dans la mesure où elle utilise le langage ordinaire, n'hésite pas à utiliser des définitions ou des notations justifiées informellement par ces axiomes, et où elle n'aborde pas les questions d'indépendance, ni de cohérence, du système d'axiomes.

Organisation de la théorie

La théorie naïve des ensembles s'organise de la façon suivante :

Notion d'ensemble

• Ensemble, élément et appartenance
• Égalité de deux ensembles
• Paires et singletons
• Définition d'un ensemble en extension
• Définition d'un ensemble en compréhension

Sous-ensembles

• Ensemble vide
• Ensemble universel
• Inclusion. Sous-ensembles et sur-ensembles
• Inclusion large et inclusion stricte. Sous-ensembles propres
• Ensemble des parties

Opérations sur les ensembles

• Réunion
• Intersection
• Différence. Compléments absolu et relatif
• Différence symétrique

Couple et produit cartésien

• Notion de couple
• Produit cartésien de deux ensembles. Carré cartésien
• n-uplets. Produit cartésien généralisé. Puissances cartésiennes
• Somme disjointe de deux ensembles

Correspondances et Relations

• Notion de correspondance
• Propriétés des correspondances. Notion de fonction
• Relations binaires
• Relations ternaires. Lois de composition

Première approche des cardinaux

• Relation binaire d'équipotence
• Notion de cardinal

Ces articles présentent la théorie naïve. Nous définissons d'abord les ensembles de manière informelle et nous donnons ensuite quelques propriétés. Les liens dans ces articles vers certains axiomes ne servent pas à justifier chaque énoncé, mais plutôt à souligner le parallèle qui peut être établi entre les théories naïve et formelle. Pour la signification des symboles logiques utilisés dans les énoncés en notation symbolique, on peut se référer à l'article Calcul des prédicats.