Arithmétique élémentaire - Définition et Explications

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Introduction

L’arithmétique élémentaire regroupe les rudiments de la connaissance des nombres telle qu'elle est présentée dans l'enseignement des mathématiques. Elle commence avec la comptine numérique, autrement dit la suite des premiers entiers à partir de 1, apprise comme une liste ou une récitation et utilisée pour dénombrer de petites quantités. Viennent ensuite les opérations d'addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la...) et de multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire...) par le biais des table d'addition et table de multiplication (Une table de multiplication affiche dans les lignes et colonnes le résultat de la multiplication...). Ces opérations permettent, dans le cadre de l'algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche...), de définir leurs opérations réciproques : la soustraction (La soustraction est l'une des opérations basiques de l'arithmétique. La soustraction...) et la division (La division est une loi de composition qui à deux nombres associe le produit du premier par...). Ce savoir n'est pas couvert par cet article.

L'apprentissage (L’apprentissage est l'acquisition de savoir-faire, c'est-à-dire le processus...) des tables de multiplication conduit ensuite à la reconnaissance des critères de divisibilité par 2, par 3, par 5, par 9 et par 10, puis à la décomposition (En biologie, la décomposition est le processus par lequel des corps organisés, qu'ils...) des entiers en facteurs premiers. L'unicité de cette décomposition permet la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...) du plus grand commun diviseur (En mathématiques, un nombre entier d est un diviseur d'un entier n lorsque la division...) (pgcd) et du plus petit commun multiple (ppcm). La division euclidienne (En mathématiques, et plus précisément en arithmétique, la division euclidienne...) est utilisée dans l'algorithme d'Euclide (Euclide, en grec ancien Εὐκλείδης...) pour calculer le pgcd de deux nombres sans connaître leur décomposition en facteurs premiers.

Un premier niveau de savoir se dégage, avec quelques lemmes et théorèmes clés, comme le lemme d'Euclide, l'identité de Bézout et le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) fondamental de l'arithmétique (L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la...). Il suffit à démontrer quelques résultats comme le petit théorème de Fermat, celui de Wilson et quelques équations peuvent être résolues. Les équations en questions sont dites diophantiennes, c'est-à-dire qu'elles sont à coefficients entiers et les solutions recherchées sont entières. La méthode chakravala (En mathématiques et plus précisément en arithmétique, la méthode...) permet de trouver une solution à l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement...) X2 - 83Y2 = 1 dès le VIe siècle. Ces méthodes permettent encore à Euler, un mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute...) suisse du XVIIIe siècle, de résoudre l'équation X2 + Y2 = p, qui correspond au théorème des deux carrés de Fermat, ici p désigne un nombre premier (Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts entiers et...). Ce sont ces méthodes, couramment considérés comme de l'arithmétique élémentaire (L’arithmétique élémentaire regroupe les rudiments de la connaissance des...), qui sont exposées dans cet article.

Comprendre plus profondément l'arithmétique des nombres entiers impose l'usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) de structures abstraites, comme celles des groupes finis, par exemple dans le cadre de l'arithmétique modulaire (En mathématiques et plus précisément en théorie algébrique des nombres,...), ou des anneaux. On quitte alors l'arithmétique élémentaire pour entrer dans la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer,...) algébrique des nombres.

Division euclidienne

Théorème de la division

L'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) étudié dans cet article, noté Z, est celui des nombres entiers, qu'ils soient positifs ou négatifs. L'existence de nombres négatifs offre un avantage trop puissant pour que l'on puisse aisément s'en passer (Le genre Passer a été créé par le zoologiste français Mathurin Jacques...). Initialement, il introduit une petite complexité (La complexité est une notion utilisée en philosophie, épistémologie (par...), comment définir la division euclidienne sur Z ? Il est nécessaire de modifier un peu le résultat déjà connu pour les entiers positifs.

Division euclidienne pour les nombres entiers — Soit a et b deux nombres entiers tel que b soit non nul. Il existe au moins un couple d'entiers (qr) tel que a soit égal à b.q + r et tel que r soit en valeur absolue (Un nombre réel est constitué de deux parties: un signe + ou - et une valeur absolue.) strictement plus petit que b.

Par rapport à la division euclidienne dans les nombres entiers positifs, une propriété a été perdue, l'unicité de la solution n'est maintenant plus toujours vraie. Considérons l'entier 10 que l'on souhaite diviser par 3, il peut s'écrire de deux manières : 3x3 + 1 ou encore 3x4 + (-2). Autoriser les nombres négatifs, en particulier pour le reste, impose d'admettre deux solutions au lieu d'une, ce qui s'avère n'être que peu gênant. La démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir...) de ce résultat est proposée dans l'article détaillé.

Sous-ensembles stables

L'objectif de ce paragraphe est la recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue...) des sous-ensembles de Z qui sont à la fois non vides et stables pour l'addition et la soustraction. Cette démarche, consistant à étudier la structure de l'ensemble Z, est une des idées fondatrices de l'arithmétique au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but...) moderne du terme. Dans un contexte (Le contexte d'un évènement inclut les circonstances et conditions qui l'entourent; le...) plus sophistiqué, ces sous-ensembles peuvent être vus comme des sous-groupes ou des idéaux. L'usage de ces concepts s'avère néanmoins inutile pour une étude qui se limite à l'arithmétique élémentaire.

Sous ensembles stables — Soit M un sous-ensemble (En mathématiques, un ensemble A est un sous-ensemble ou une partie d’un ensemble B, ou...) non vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.) de Z et stable pour l'addition, il existe un entier m tel que M soit égal à l'ensemble des multiples de m.

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