Calcul vectoriel en géométrie euclidienne - Définition

Introduction

Cet article traite des opérations portant sur les vecteurs en géométrie euclidienne.

Opérations sur les vecteurs dans le plan et l'espace

Les vecteurs dont il sera question dans cet article sont ceux de l'espace ou du plan .

Comme souligné ci-dessus, certaines constructions géométriques sont spécifiques aux vecteurs. Ces constructions géométriques ayant des propriétés communes avec les opérations sur les nombres (addition, multiplication), on adopte une notation similaire.

Produit d'un vecteur par un scalaire

Le terme « scalaire » désigne ici un nombre réel. Le produit d'un vecteur par un scalaire a est un vecteur noté

Ce vecteur est égal à si ou si a = 0. Sinon :

• il est de même direction, de même sens que et de longueur

, si a > 0

• de même direction, de sens contraire et de longueur

, si a < 0.

On a

1 est donc l'élément scalaire neutre, et 0 l'élément scalaire absorbant pour cette opération. Le produit d'un vecteur par un scalaire est distributif sur l'addition des scalaires

.

Notez que deux vecteurs sont colinéaires si et seulement s’ils sont proportionnels, c'est-à-dire s'il existe un nombre a tel que ou . Attention un des vecteurs peut être nul !

Somme de deux vecteurs

La somme de deux vecteurs et est un vecteur, noté , qui est construit de la manière suivante :

on amène l'origine du deuxième vecteur à l'extrémité du premier, la somme est le vecteur qui joint l'origine du premier vecteur à l'extrémité de second.

Il s'agit du troisième côté d'un triangle formé par les deux premiers vecteurs.

On peut aussi le construire d'une autre manière :

on amène les origines des deux vecteurs en un même point, on trace un parallélogramme dont les vecteurs sont deux côtés, la somme est alors la diagonale du parallélogramme partant de l'origine.

Dans les deux cas, on place les vecteurs bout-à-bout ; mais si l'origine d'un vecteur correspond à l'extrémité de l'autre, on utilise la méthode du triangle, si les origines sont confondues, on utilise la méthode du parallélogramme.

Si l'on a trois points A, B et C, alors on a la « relation de Chasles » :

on déduit de cela que

ce qui permet de définir l'opposé d'un vecteur, et donc la soustraction : en posant la notation

on a

L'opposé d'un vecteur est le vecteur de même direction, de même longueur, mais de sens opposé.

On a :

est l'élément neutre de l'addition des vecteurs. L'addition des vecteurs est commutative

Le produit d'un scalaire par un vecteur est distributif sur l'addition des vecteurs :

.

Produit scalaire de deux vecteurs

Définition

Le produit scalaire des vecteurs et , noté est égal à 0 si l'un des deux vecteurs est nul, il vaut sinon. étant égal à , le produit scalaire ne dépend pas de l'orientation du plan et a un sens dans l'espace alors que les angles ne sont pas orientés.

et orthogonaux signifie que . Notation : .

Deux vecteurs sont orthogonaux si l'un des vecteurs est nul ou « s'ils forment un angle droit ». Le produit scalaire est positif si l'angle est aigu et négatif si l'angle est obtus.

Cette opération a été introduite pour simplifier les calculs sur les projections orthogonales. En effet, si v_u est la mesure algébrique de la projection de sur une droite orientée selon (v_u est positif si la projection est dans le même sens que , négatif s'il est dans le sens opposé), alors on a

Ainsi, si la norme de vaut 1, alors la mesure algébrique de la projection orthogonale de sur la droite est . De la même manière, si u_v est la mesure algébrique de la projection de sur une droite orientée selon ,alors on a

Propriétés

• Le produit scalaire est symétrique

• Il est distributif sur l'addition des vecteurs

• Le vecteur nul est l'élément absorbant du produit scalaire

•  s'appelle le  carré scalaire  du vecteur    et se note   ²  ;  ainsi  :    ² =
• Le carré scalaire d'un vecteur est égal au carré de sa norme

² = ²     et donc    =

• Dans le plan rapporté à une base orthonormale

• Dans l'espace rapporté à une base orthonormale

Voir aussi    ( pour une définition générale valable dans toutes les branches des mathématiques )

• Produit scalaire