En particulier, si n = 1, alors
est dite orthonormale si et seulement si
Toute famille orthonormale est une famille libre, donc une base de En si elle contient n vecteurs. Une base orthonormale de En est donc une famille de n vecteurs 2 à 2 orthogonaux et de norme 1, c'est-à-dire, en utilisant le symbole de Kronecker, une famille
vérifiant
En géométrie dans l'espace, la base est en général notée
au lieu de
.
La base est dite « directe » si
est le produit vectoriel de
et de
(
).
Voir l'article Orientation (mathématiques).
Propriétés
Existence de bases orthonormales
À partir d'une base quelconque d'un espace euclidien, le procédé de Gram-Schmidt fournit une méthode constructive pour obtenir une base orthonormale de cet espace. Notamment, on peut affirmer:
Dans tout espace euclidien de dimension non nulle, il existe des bases orthonormales.
En appliquant ce résultat à l'orthogonal de l'espace engendré par une famille orthonormale de p vecteurs de En, on établit le théorème de la base orthonormale incomplète:
Toute famille orthonormale de vecteurs d'un espace euclidien peut être complétée en une base orthonormale de cet espace.
Le caractère 1-lipschitzien d'un projecteur orthogonal permet d'en déduire l'inégalité de Bessel, qui comporte une généralisation à une famille orthonormale infinie.
Changement de base orthonormale
Si
et
sont deux bases orthonormales de En, la matrice de passage de l'une vers l'autre est une matrice orthogonale. Notamment, l'inverse de cette matrice est égale à sa transposée.
Inversement, si la matrice de la famille
dans la base orthonormale
est orthogonale, alors
est une base orthonormale.
Les applications linéaires qui transforment une base orthonormale en une base orthonormale sont les automorphismes orthogonaux.
![M=[( \vec e_i \cdot u( \vec e_j))]_{1\le i,j\le n}](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/7/7488df99003d43574b397d48e5e5cd14_104b04fbba7b94fee78f0f2187b608c9.png)
![M=[( \vec e_i \cdot u( \vec e_j))]_{1\le i,j\le n}](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/7/7488df99003d43574b397d48e5e5cd14_104b04fbba7b94fee78f0f2187b608c9.png)
