Convention de sommation d'Einstein - Définition

Cas sans produit interne

Dans les exemples ci-dessus, vous pouvez remarquez que les formules sont toujours valides si les indices muets sont présents une fois comme indice supérieur et une fois comme indice inférieur, sauf dans l'exemple concernant la transposée. C'est parce que ces exemples utilisent implicitement le produit interne dans un espace euclidien (produit scalaire) alors que l'exemple avec le transposée ne le fait pas.

Dans certaines applications, il n'y a pas de produit interne sur V. Dans ces cas, requérir que les indices muets doivent apparaître une fois en haut et une fois en bas peut aider à éviter des erreurs, un peu comme l'analyse dimensionnelle permet d'éviter les erreurs d'unités. Plus significativement, le produit interne peut être l'objet principal de l'étude et ne devrait pas être supprimé de la notation; c'est le cas, par exemple, des équations de la relativité générale. Dans ces cas, la différence entre la position d'un indice peut-être cruciale.

Quand on se réfère explicitement au produit interne, ces composantes sont souvent notées : g_ij (cfr. tenseur métrique). On notera que g_ij = g_ji. La formule pour le produit scalaire devient alors:

On peut aussi abaisser l'indice en définissant:

,

ce qui donne:

Ici, nous avons implicitement utilisé le fait que g_ij = g_ji.

De façon similaire, nous pouvons élever un indice en utilisant le produit interne correspondant sur V*. Le produit interne est alors défini par g^ij, qui en tant que matrice est l'inverse de g_ij. Si vous élevez un indice puis l'abaissez (ou le contraire), vous retrouvez ce que aviez au départ. Si vous élevez le i dans g_ij, alors vous obtenez et si vous élevez le j dans vous obtenez g^ij.

Si la base choisie pour V est orthonormale, alors g_ij = g^ij et u_i = uⁱ. Dans ce cas, on retrouve la formule pour le produit scalaire de la section précédente. Mais si la base n'est pas orthonormale, cela ne sera plus vrai. Donc si vous étudiez le produit interne et que vous ne pouvez pas savoir si la base est orthonormale, vous devrez vous référez explicitement à g_ij. De plus, si le produit interne n'est pas défini-positif, comme c'est le cas en relativité générale, g_ij = d_ji ne sera pas vrai même si la base est orthonormale car vous aurez parfois -1 au lieu de 1 quand i = j.

Algèbre vectorielle élémentaire et algèbre matricielle

Soit V un espace vectoriel dans , alors il existe un base standard pour V dans laquelle est (0,...,0,1,0,...,0), avec le 1 à la position i. Dans ce cas, les matrices n × n peuvent être vues comme des éléments de . On peut aussi considérer les vecteurs dans V comme des vecteurs colonnes ou comme des matrices n × 1 et les éléments de V* comme des vecteurs rangées ou des matrices 1 × n.

Dans les exemples qui suivent, tous les indices apparaîtront en position haute. C'est parce que V a un produit interne et que la base base choisie est orthonormale, comme cela est expliqué dans la section suivante.

Si H est une matrice et v est un vecteur colonne, alors H v est un autre vecteur colonne. Pour définir w = H v, on peut écrire:

L'indice muet j apparaît deux fois dans le terme de droite, tandis que i apparaît une seule fois dans chaque terme.

En utilisant la distributivité, peut s'écrire:

Cet exemple montre la preuve de la loi de distributivité, car l'équation des indices ne fait que directement référence aux nombres réels , u^j et v^j et sa validité découle directement de celle de la distributivité de ces nombres.

La transposée d'un vecteur colonne est un vecteur ligne avec les mêmes composantes et la transposée d'une matrice est une autre matrice dont les composantes sont données en inversant les indices. Supposons que nous sommes intéressés par , le produit de par H^T. Alors:

Donc pour exprimer que la transposée d'un produit inverse l'ordre de la multiplication, nous pouvons écrire:

À nouveau, ceci découle directement de la commutativité des nombres réels.

Le produit scalaire de deux vecteurs u et v peut s'écrire:

Si n = 3, nous pouvons aussi écrire le produit vectoriel en utilisant le symbole de Levi-Civita. Par exemple, si w est u × 'v, alors:

Ici le symbole de Levi-Civita ε_ijk est le tenseur totalement anti-symétrique tel que ε₁₂₃ = 1. Concrètement :

• ε_ijk = 1 si (i,j,k) est une permutation paire de (1,2,3) ;
• ε_ijk = − 1 si (i,j,k) est une permutation impaire de (1,2,3) ;
• ε_ijk = 0 si (i,j,k) n'est pas une permutation de (1,2,3) (s'il y a deux fois le même indice).

Exemple

Soit à démontrer l'identité vectorielle suivante :

Avec a b et c des vecteurs quelconques. En notation d'Einstein, on a :

En réarrangeant les termes et en permutant les indices, on obtient l'expression équivalente suivante :

En utilisant les propriétés du symbole de Levi-Civita. On a alors en réorganisant et en simplifiant les termes :

On a donc finalement :

En explicitant l'indice i, on retrouve l'identité.