Tenseur - Définition et Explications

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Tenseur

Mathématiques

Tenseur (mathématiques)
Produit tensoriel
... de deux modules
... de deux applications linéaires
Algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche...) tensorielle
Champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) tensoriel
Espace tensoriel

Physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la...)

Convention d'Einstein
Tenseur métrique (Tenseur)
Tenseur (Tenseur) énergie-impulsion
Tenseur de Riemann
... de Ricci
... d'Einstein
... de Weyl
... de Levi-Civita
... de Killing
... de Killing-Yano
... de Bel-Robinson
... de Cotton-York
Tenseur électromagnétique
Tenseur des contraintes
Tenseur des déformations

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En mathématiques, plus précisément en algèbre multilinéaire (En mathématiques, l’algèbre multilinéaire étend les méthodes de l’algèbre...) et en géométrie différentielle (En mathématiques, la géométrie différentielle est l'application des outils du calcul...), un tenseur désigne une fonction multilinéaire. En physique et en sciences de l'ingénieur (« Le métier de base de l'ingénieur consiste à résoudre des problèmes de nature...), les tenseurs sont utilisés pour décrire et manipuler diverses grandeurs et propriétés physiques comme le champ électrique (En physique, on désigne par champ électrique un champ créé par des particules...), la permittivité (En électromagnétisme, la permittivité ε d'un matériau est le rapport D/E du...), la déformation etc.

Par extension, on utilise souvent le terme tenseur pour désigner un champ de tenseurs, c'est-à-dire une application qui associe à chaque point (Graphie) d'un espace géométrique un tenseur différent.

La première utilisation de la notion et du terme de tenseur s'est faite dans le cadre de la mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes...) du continu, en relation avec la nécessité de décrire les contraintes et les déformations subies par les corps étendus, à partir de laquelle fut formalisée la mécanique rationnelle.

Les tenseurs sont largement utilisés dans la relativité générale (La relativité générale, fondée sur le principe de covariance générale...), pour décrire rigoureusement l'espace-temps (La notion d'espace-temps a été introduite au début des années 1900 et reprise...) comme variété courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du...) quadri-dimensionnelle. Les tenseurs sont utilisés dans de nombreux autres domaines de la physique, y compris l'électromagnétisme (L'électromagnétisme est une branche de la physique qui fournit un cadre très général d'étude...), la mécanique des fluides (La mécanique des fluides est la branche de la physique qui étudie les écoulements de fluides...) et mécanique du solide. En particulier, le tenseur des contraintes et le tenseur des déformations sont utilisés dans la science (La science (latin scientia, « connaissance ») est, d'après le dictionnaire...) des constructions pour définir l'état de tension (La tension est une force d'extension.) et de déformation en tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) point d'une structure.

Les tenseurs sont également utilisés en géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace...) différentielle pour définir sur une variété différentielle les notions géométriques de distance, d'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts...) et de volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension...). Cela se fait par le choix d'un tenseur métrique, c'est-à-dire un produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique...) défini sur l'espace tangent de chaque point. Grâce à ce concept, sont alors définies et étudiées les questions liées à la courbure (Intuitivement, courbe s'oppose à droit : la courbure d'un objet géométrique est une mesure...) de la variété. D'autres tenseurs, tels que le tenseur de Riemann et le tenseur de Ricci (Dans le cadre de la théorie de la Relativité générale, le champ de gravitation est interprété...), sont des outils importants pour cette étude.

Introduction

Les composants du tenseur des contraintes, un tenseur de deuxième ordre, en trois dimensions. Le tenseur dans l'image est le vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet...) ligne \sigma = \begin{bmatrix}\mathbf{T}^{(\mathbf{e}_1)} \mathbf{T}^{(\mathbf{e}_2)} \mathbf{T}^{(\mathbf{e}_3)}\end{bmatrix} des forces agissants sur les faces X, Y et Z du cube (En géométrie euclidienne, un cube est un prisme dont toutes les faces sont carrées....). Ces forces sont représentées par des vecteurs colonnes. Les vecteurs ligne et colonnes qui composent le tenseur peuvent être représentées par une matrice :
\sigma = \begin{bmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ \sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\ \sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33} \end{bmatrix}

D'un point de vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et...) physique, un tenseur est un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans...) très général, défini intrinsèquement à partir d'un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant...) V (qui peut être par exemple l'espace euclidien (En mathématiques, un espace euclidien est un objet algébrique permettant de...) tridimensionnel, ou bien l'espace-temps quadri-dimensionnel) et qui ne dépend pas d'un système de coordonnées particulier.

Par rapport à un système de coordonnées fixé, un vecteur de l'espace s'exprime comme une suite finie de nombres (ce sont les composantes du vecteur), soit : un n-uplet (En mathématiques, si n est un entier naturel non nul alors un n-uplet est une collection de n...). Si on change de système de coordonnées, ce vecteur s'exprimera alors par un autre n-uplet, différent selon une loi bien précise. Un tenseur, exprimé dans un système de coordonnées particulier, est une sorte de n-uplet généralisé qui peut avoir 1 dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce...) (un n-uplet), ou 2 (une matrice) ou plus. Par un changement du système de coordonnées, les composantes d'un tenseur, comme celles d'un vecteur, sont modifiées par une loi précise.

Cette notion physique de tenseur comme « objet indépendant du système de coordonnées » est utile pour exprimer beaucoup de lois physiques, qui par leur nature ne dépendent pas des systèmes de coordonnées choisis. La notion mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide...) d'un tenseur est réalisée d'une manière plus rigoureuse par l'algèbre multilinéaire. Dans le langage de l'algèbre linéaire (L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s'intéresse...), un système de coordonnées est une base et la loi de transformation est fournie par une matrice de changement de base. En outre, la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...) d'un tenseur peut être donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire,...) sans faire référence aux systèmes de coordonnées (aux bases), en utilisant la notion d'application multilinéaire (En algèbre linéaire, une application multilinéaire est une application à...) et d'espace vectoriel dual.

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