Décomposition des idéaux premiers dans les extensions galoisiennes - Définition

Exemple — les entiers de Gauss

Ce paragraphe décrit la séparation des idéaux premiers dans l'extension de corps . C’est-à-dire, nous prenons et , donc est simplement , et est l'anneau des entiers de Gauss. Bien que ce cas est loin d'être représentatif — après tout, possède une décomposition en nombres premiers unique — il expose beaucoup de possibilités de la théorie.

En écrivant pour le groupe de Galois de , et pour l'automorphisme de conjugaison complexe dans , il existe trois cas à considérer.

Le nombre premier p = 2

Le nombre premier 2 de se ramifie dans  :

,

donc ici, l'index de ramification est e = 2. Le corps de résidus est

qui est le corps avec deux éléments. Le groupe de décomposition doit être égal à tous les , puisqu'il existe seulement un nombre premier au-dessus de 2. Le groupe d'inertie est aussi tous les , puisque

pour tout entiers a et b.

En fait, 2 est le seul nombre premier qui se ramifie dans , puisque chaque nombre premier qui se ramifie doit diviser le discriminant de , qui est .

Nombres premiers p ≡ 1 mod 4

Tout nombre premier mod 4 se sépare en deux idéaux premiers distincts dans ; ceci est une manifestation du théorème de Fermat sur les sommes de deux carrés. Par exemple,

.

Les groupes de décomposition dans ce cas sont tous les deux le groupe trivial {1}; l'automorphisme aiguille vraiment les deux nombres premiers et , donc il ne peut pas être dans le groupe de décomposition de chaque nombre premier. Le groupe d'inertie, étant un sous-groupe du groupe de décomposition, est aussi le groupe trivial. Il existe deux corps de résidus, un pour chaque nombre premier,

,

qui sont tous les deux isomorphes au corps fini avec 13 éléments. L'élément de Frobenius est l'automorphisme trivial; ce qui signifie que

modulo , pour tous les entiers a et b.

Nombres premiers p ≡ 3 mod 4

Tout nombre premier reste inerte dans ; c’est-à-dire, il ne se sépare pas. Par exemple, (7) reste premier dans . Dans cette situation, le groupe de décomposition sont tous les , de nouveau parce qu'il existe seulement un seul facteur premier. Néanmoins, cette situation diffère du cas , parce que maintenant n'agit pas de manière triviale sur le corps des résidus

,

qui est le corps fini avec éléments. Par exemple, la différence entre et est , qui est certainement non divisible par 7. Par conséquent, le groupe d'inertie est le groupe trivial {1}. Le groupe de Galois de ce corps de résidus sur le sous-corps est d'ordre 2, et est engendré par l'image de l'élément de Frobenius. Le Frobenius est aucun autre que ; ce qui signifie que

modulo 7, pour tous les entiers a et b.

Résumé

Nombre premier dans Z	Séparation dans Z[i]	Groupe d'inertie	Groupe de décomposition
2	se ramifie avec index 2	G	G
p ≡ 1 mod 4	se sépare en deux facteurs distincts	1	1
p ≡ 3 mod 4	reste inerte	1	G

Un exemple

Considérons de nouveau le cas des entiers de Gauss. Nous prenons comme unité imaginaire , avec le polynôme minimal . Puisque est l'anneau plein des entiers de , le conducteur est l'idéal unité, donc il n'existe pas de nombres premiers exceptionnels.

Pour , nous devons travailler dans le corps , qui contient pour factoriser le polynôme  :

.

Par conséquent, il existe seulement un facteur premier, d'inertie de degré 1 et d'index de ramification 2, et ceci est donné par

Le cas suivant, P = (p) pour un nombre premier , plus concrètement, nous prendrons P = (7). Le polynôme est irréductible modulo 7. Par conséquent, il existe seulement un facteur premier, d'inertie de degré 2 et d'index de ramification 1, et ceci est donné par

.

Le dernier cas est P = (p) pour un nombre premier ; nous prendrons de nouveau P = (13). Cette fois, nous avons la factorisation

.

Par conséquent, il existe deux facteurs premiers, tous les deux avec un degré d'inertie et un index de ramification égal à 1. Ils sont donnés par

et

.