Division euclidienne - Définition et Explications

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Introduction

En mathématiques, et plus précisément en arithmétique, la division euclidienne ou division entière est une opération qui, à deux entiers naturels appelés dividende et diviseur, associe deux entiers appelés quotient et reste. Initialement définie pour deux entiers naturels non nuls, elle se généralise aux entiers relatifs et aux polynômes, par exemple.

Cette division (La division est une loi de composition qui à deux nombres associe le produit du premier par...) est à la base des théorèmes de l'arithmétique élémentaire (L’arithmétique élémentaire regroupe les rudiments de la connaissance des...), comme celle de l'arithmétique modulaire (En mathématiques et plus précisément en théorie algébrique des nombres,...) qui donne lieu à la création des congruences sur les entiers.

Définitions

Division euclidienne (En mathématiques, et plus précisément en arithmétique, la division euclidienne...) dans les entiers positifs

Le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) de division euclidienne pour des entiers positifs s'énonce ainsi : pour tous entiers a et b positifs, avec b non nul, il existe un unique couple d'entiers q et r tel que la relation a=bq+r soit vérifiée, et tel que r soit compris entre 0 et b-1 au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but...) large. L'entier q est appelé quotient de la division de a par b, et l'entier r reste de cette division.

Division euclidienne dans les entiers relatifs

\forall (a,b)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}^*, \exists q, r\in\mathbb{Z} / a=b.q+r \quad et \quad |r| < |b|

À deux entiers a et b, avec b non nul, la division euclidienne associe un quotient q et un reste r, tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) deux entiers, vérifiant :

  • a = b.q+r\,
  • |r| < |b|\;

L'affirmation de l'existence du reste et du quotient est appelée Théorème de la division euclidienne pour les entiers.

S'il était possible de définir une division telle que l'unicité du quotient et du reste soit garantie, elle serait néanmoins incompatible avec le cas général de la division dans les anneaux euclidiens.

Division euclidienne dans l'ensemble des polynômes

La division euclidienne selon les puissances décroissantes existe si l'anneau est défini sur un corps : \forall (A,B)\in\mathbb{K}[X]\times\mathbb{K}[X]^*,\quad \exists !Q, R\in\mathbb{K}[X], A=B.Q+R \quad avec \quad \operatorname{deg}(R) < \operatorname{deg}(B)

À deux polynômes A et B à coefficients dans un corps K avec B non nul, la division euclidienne associe un unique quotient Q et un unique reste R, tout deux polynômes, vérifiant :

  • A=B.Q+R\,
  • \operatorname{deg}(R) < \operatorname{deg}(B)

L'unicité est ici garantie, en revanche il est nécessaire que K soit un corps. Sinon la division est encore parfois possible, si par exemple le coefficient (En mathématiques un coefficient est un facteur multiplicatif qui dépend d'un certain...) du monôme (À la fin XIXe siècle, le monôme était une manifestation étudiante sous la forme d'un...) dominant de B est égal à 1, ou plus généralement si le coefficient du monôme dominant de B est inversible.

Division euclidienne dans un anneau

Dans certains types d'anneaux commutatifs unitaires intègres, on peut définir une division euclidienne par

a = bq + r avec r = 0 où v(r) < v(b) v étant une application de A - { 0 } dans \mathbb N appelée stathme euclidien.

S'il existe un stathme euclidien sur l'anneau A, il en existe un qui vérifie la propriété suivante : si a et b sont deux éléments de A tel que b divise a, alors v(b) \scriptstyle {\leq} v(a). Un anneau admettant un stathme euclidien est appelé anneau euclidien (En mathématiques et plus précisément en algèbre, dans le cadre de la...). La définition d'un stathme euclidien diffère d'un auteur à l'autre. Les rapports logiques entre les différentes définitions sont abordés dans l'article Anneau euclidien.

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