Dualité de Pontryagin - Définition

Le groupe dual

Si G est un groupe abélien localement compact, un caractère de G est un morphisme de groupe continu de G dans . On peut montrer que l'ensemble des caractères de G est lui-même un groupe abélien localement compact, appelé le groupe dual de G, et noté . Le produit sur est le produit de deux caractères en tant que fonction à valeur complexe, et l'inverse d'un caractère est son conjugué complexe. La topologie est celle de la convergence uniforme sur des compact. Elle n'est pas métrisable en général. Cependant, si le groupe G est de plus séparable, alors la topologie définie sur est métrisable.

Théorème: est canoniquement isomorphe à G, autrement dit G est canoniquement isomorphe au dual de son dual.

Canonique signifie qu'il y a une application "naturelle" de G dans . Ce terme apporte une nuance importante: par exemple, n'importe quel groupe abélien fini est isomorphe à son dual, mais l'isomorphisme n'est pas canonique. L'isomorphisme canonique est défini ainsi:

Autrement dit, chaque élément x de G est identifié à son évaluation par les caractères du dual.

Algèbre de groupe

L'espace des fonctions intégrables sur un groupe abélien localement compact G est une algèbre, où la multiplication est le produit de convolution: si f et g sont des fonctions intégrables alors leur produit de convolution est défini par

Théorème L'espace de BanachL¹(G) est une algèbre associative et commutative muni de la convolution.

Cette algèbre est appelée l'algèbre du groupe G. Comme L¹(G) est complet, c'est une algèbre de Banach. Elle ne possède pas d'élément neutre pour la multiplication, à moins que G soit un groupe discret.

Cette algèbre a cependant, en général, une approximation de l'unité {e_i}_i qui est un réseau (ou une suite généralisée) indexée par un ensemble inductif I, satisfaisant la propriété suivante

La transformée de Fourier transforme la convolution en multiplication, c'est-à-dire:

En particulier, à chaque caractère de G correspond une unique fonctionnelle multiplicative linéaire de l'algèbre du groupe définie par

Ce fait constitue une propriété importante des algèbre de groupes : en effet on peut alors expliciter les fonctionnelles multiplicatives linéaires non nulles de l'algèbre du groupe.

Transformée de Fourier

Le groupe dual d'un groupe abélien localement compact sert comme espace de base d'une version plus abstraite de la transformée de Fourier. Si , alors sa transformée de Fourier est la fonction définie sur par:

où l'intégrale est prise par rapport à la mesure de Haar μ sur G. Il n'est pas trop difficile de montrer que la transformée de Fourier d'une fonction L¹ sur G est une fonction continue bornée sur . De même, la transformée de Fourier inverse d'une fonction intégrable sur est donnée par

où l'intégrale est relative à la mesure de Haar ν sur le groupe dual .

Théorèmes d'inversion de Plancherel et Fourier

Comme énoncé ci-dessus, le groupe dual d'un groupe abélien localement compact est lui aussi un groupe abélien localement compact et par suite possède une mesure de Haar ν, ou plus précisément une famille de mesures de Haar cν déterminées à un facteur multiplicatif positif près c.

Théorème: il existe un multiple positif de la mesure de Haar sur le groupe dual G^ de G telle que la restriction de la transformée de Fourier aux fonctions continues à support compact de G soit une isométrie linéaire. Elle s'étend de façon unique à un opérateur linéaire

où ν est la mesure de Haar sur le groupe dual.

Pour un groupe localement compact non compact, l'espace L1(G) ne contient pas L2(G), et il est nécessaire d'utiliser une astuce technique comme la restriction à un sous-espace dense.

En suivant Loomis (référence ci-dessous), on dit que les mesures de Haar sur G et G^ sont associées si la formule d'inversion de Fourier est satisfaite. Le caractère unitaire de la transformée de Fourier entraîne la formule de Plancherel :

pour toute fonction continue sur G à valeur complexe et support compact.

C'est cette extension unitaire de la transformée de Fourier que l'on considère comme étant la transformée de Fourier sur l'espace des fonctions de carré intégrable. Le groupe dual possède aussi sa transformée de Fourier inverse ; c'est l'inverse (ou adjoint, puisque nous sommes dans le cas unitaire) de la transformée de Fourier, comme cela est énoncé par le résultat suivant.

Théorème. L'adjoint de la transformée de Fourier restreinte au sous-espace des fonctions continues à support compact sur G est la transformée de Fourier inverse

où les mesures de Haar de G et G^sont associées.

Dans le cas où G = Rn, nous avons G^ = Rn et l'on retrouve la transformée de Fourier usuelle de Rn en prenant

Dans le cas où G est le groupe des nombres complexes unitaires, G^ est naturellement isomorphe au groupe des entiers et l'opérateur F n'est autre que l'opérateur d'extraction des coefficients de la série de Fourier des fonctions périodiques.

Si G est un groupe fini, F n'est autre que la transformée de Fourier discrète.