En mathématiques, l'algèbre de Banach est une des structures fondamentales de l'analyse fonctionnelle, portant le nom du mathématicien polonais Stefan Banach (1892-1945).
Définition — Une algèbre de Banach sur le corps ou est une K-algèbre normée telle que l'espace vectoriel normé sous-jacent soit en outre un espace de Banach (un espace vectoriel normé complet).
Suivant les auteurs, la structure d'algèbre exige ou non la présence d'un élément unité. Les termes algèbre unitaire et algèbre non unitaire permettent de différencier les structures. En analyse fonctionnelle, une algèbre de Banach est dite unitaire lorsqu'il existe un élément neutre, nécessairement unique, e, et que la norme de e est 1.
On parle en outre d'algèbre de Banach commutative quand la loi produit est commutative.
Soit une algèbre de Banach unitaire, d'élément unité e.
Comme dans toute algèbre, les éléments inversibles de A forment un groupe. Tout élément x appartenant à la boule ouverte de centre e et de rayon 1 en fait partie, et son inverse peut être exprimé comme somme de la série géométrique de raison x.
Le groupe G des éléments inversibles d'une algèbre de Banach est un ouvert.
Soit un élément inversible a de A et
Soit x un élément de tel que | | a − x | | < r. Alors
donc e − a − 1(a − x) est inversible. L'élément a étant inversible, le produit
L'application de passage à l'inverse est un homéomorphisme de G sur G, ce qui confère à G une structure de groupe topologique. Il s'agit même d'une application différentiable, la différentielle au point x étant donnée par la formule
L'hypothèse de complétude est essentielle et ces résultats tombent en défaut dans les algèbre normée non complète. Par exemple considérons l'algèbre des polynômes à coefficients réels muni de n'importe quelle norme. Le groupe des inversibles est qui est inclus dans le sous-espace vectoriel strict de et est donc d'intérieur vide; il n'est donc pas ouvert. Ceci montre en particulier que ne peut être muni d'une structure de -algèbre normée complète, résultat qui est aussi conséquence du théorème de Baire.
Les idéaux maximaux d'une algèbre de Banach sont fermés.
Une algèbre de Banach complexe dont tout élément non nul est inversible est isomorphe, par l'intermédiaire d'une isométrie, au corps des nombres complexes (théorème de Gelfand-Mazur); en particulier, les idéaux maximaux des algèbres de Banach complexes sont des hyperplans fermés. La commutativité est une conséquence du théorème.