Dynamique de rotation - Définition

Cas de la rotation d'un solide autour de son centre d'inertie G

ébauche : +tard svp

c'est le problème d'Euler

Cas de la rotation d'un solide autour d'un axe de direction fixe

Dans ce cas , on peut montrer que le PFDT s'applique au point G (centre d'inertie) , affecté de la masse inerte totale du solide et le PFDR s'applique à l'axe ( G, k ), avec l'inertie à la rotation J°.

Application: le cylindre qui roule sans glisser le long d'un plan incliné

Soit un plan incliné d'angle α.

Quand le cylindre ,de rayon R , de masse M, d'inertie à la rotation J°, roule sans glisser , il a parcouru 2πR en un tour et donc s= R.θ (relation géométrique)

Analyse des forces : à distance : le poids -mg k; l'action du plan sur le cylindre au point de contact C, décomposée en N normale au plan et T tangentielle, comptée algébriquement vers le haut ( et dessinée comme telle, cela visualise mieux le problème).

      Application du PFDT: M 

    
    
 = Mg.sinα - T      

et Mg cosα = N

      Application du PFDR: J° 

    
    
 = 0 +0 +T.R      

qui s'écrit compte-tenu de la relation géométrique :

      J°/R^2 dv/dt = T      

En éliminant T , on obtient:

      dv/dt = cste = g.sinα. (M/M') avec M' = M + J°/R^2.      

Puis on peut en tirer T = M//(J°/R^2) g.sinα , qui doit être inférieure à k N ( k = coefficient de Coulomb), pour qu'il n'y ait effectivement pas de glissement.

Discussion : un cylindre creux descend plus doucement qu'un barreau plein , ce qui souvent fait réfléchir les élèves, alors que cela est indépendant de la masse volumique et de la masse ! seule la géométrie compte.

Il est alors facile de fabriquer (ce qui ravit les élèves) une bobine de magnétophone plombée sur la jante: elle n'arrive à descendre que très doucement, car on a démesurément augmenté M'.

Inversément, la bobine roulant sur sa jante et avec un moyeu plombé, roule quasiment avec M' = M.

Il reste le problème du tank à chenille de masse m, la chenille de masse M d'entre-axes = a et de rayon R, et les élèves ont compris.

Problème de la toupie pesante de Lagrange

Cette fois la toupie repose sur sa pointe O fixe, dans un champ de pesanteur -g k

Autres cas

Évidemment, seul a été traité ici le problème des systèmes solides; mais bien sûr le PFDR peut s'appliquer à n'importe quel système, y compris des systèmes ouverts comme les pales à réaction des hélicoptères ou les roues des aubes de turbine à réaction d'augets. Et aussi aux galaxies ou en hydrodynamique ( moment cinétique en hydrodynamique, vortex,...)

problèmes de gyroscopie

On revient à des problèmes plus aisés; mais regroupons ces cas:

voir gyroscope

Ces cas sont magnifiquement décrits par les ouvrages de RADIX , exceptionnels de clarté.