Équation d'état de Murnaghan - Définition

Introduction

En physique, et plus précisément en mécanique des milieux continus, l'équation d'état de Murnaghan est une équation d'état décrivant l'évolution isotherme du volume d'un solide en fonction de la pression — un problème important en sciences de la terre. C'est une relation empirique qui fait intervenir deux paramètres ajustables qu'on identifie au module d'incompressibilité K₀ et à sa dérivée première par rapport à la pression, K'₀, tous deux pris à pression ambiante. L'équation de Murnaghan permet donc de déterminer ces deux coefficients à partir de la donnée expérimentale du volume en fonction de la pression, qu'on obtient en général par diffraction des rayons X.

Cette équation fut proposée en 1944 par F.D. Murnaghan, dans une tentative de prendre en compte les variations de compressibilité des solides avec la pression. Tant que la compression V / V₀ reste supérieure à 90% environ, elle permet de modéliser avec une précision satisfaisante les données expérimentales. De plus, à la différence de la plupart des nombreuses équations d'état proposées, l'équation de Murnaghan donne une expression explicite du volume en fonction de la pression V(P).

Le domaine de validité de l'équation de Murnaghan reste toutefois trop limité, notamment au regard des possibilités expérimentales actuelles. On a plus souvent recours, pour l'analyse des données de compression, à d'autres équations d'état plus élaborées dont la plus connue est l'équation de Birch-Murnaghan.

Contexte général

L'étude de la structure interne de la terre passe par la connaissance des propriétés mécaniques des constituants des couches internes de la planète. On parle alors de conditions extrêmes : les pressions s'y comptent en centaines de gigapascal et les températures en milliers de degrés. L'étude des propriétés de la matière dans ces conditions peut se faire de manière expérimentale grâce à des dispositifs comme la cellule à enclumes de diamant, mais elle a aussi donné lieu à des travaux théoriques visant à déterminer des équations d'état, c'est-à-dire des relations liant le volume (ou la densité), la température et la pression.

On peut distinguer deux approches :

• les équations d'état dérivées de potentiels interatomiques, ou éventuellement de calculs ab initio.
• les équations d'état dérivées des relations générales de la mécanique et de la thermodynamique. L'équation de Murnaghan appartient à cette seconde catégorie.

Plusieurs dizaines d'équations ont ainsi été proposées par différents auteurs. Ce sont des relations empiriques, dont la qualité et la pertinence dépendent de l'usage qui en est fait. On peut en juger selon différents critères : le nombre de paramètres indépendants qu'elles font intervenir, la qualité des affinements qu'elles permettent sur les données expérimentales, la cohérence des hypothèses théoriques qui les sous-tendent, leur capacité à extrapoler le comportement des solides aux fortes compressions.

Exemples d'utilisation

Le tableau qui suit répertorie des données sur différents matériaux, avec pour seul objectif d'illustrer de quelques valeurs numériques les analyses qui ont pu être faites à l'aide de l'équation de Murnaghan.